第10讲圆锥曲线的综合问题[基础题组练]1．已知椭圆E的中心在坐标原点，左、右焦点F1，F2在x轴上，离心率为，在其上有一动点A，A到点F1距离的最小值是1.过A，F1作一个平行四边形，顶点A，B，C，D都在椭圆E上，如图所示．(1)求椭圆E的方程；(2)判断▱ABCD能否为菱形，并说明理由．解：(1)依题，令椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，c2＝a2－b2(c>0)，所以离心率e＝＝，即a＝2c.令点A的坐标为(x0，y0)，所以＋＝1，焦点F1(－c，0)，即|AF1|＝＝＝＝|x0＋a|，因为x0∈[－a，a]，所以当x0＝－a时，|AF1|min＝a－c，由题a－c＝1，结合上述可知a＝2，c＝1，所以b2＝3，于是椭圆E的方程为＋＝1.(2)由(1)知F1(－1，0)，直线AB不能平行于x轴，所以令直线AB的方程为x＝my－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程，得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝.连接OA，OB，若▱ABCD是菱形，则OA⊥OB，即OA·OB＝0，于是有x1x2＋y1y2＝0，又x1x2＝(my1－1)(my2－1)＝m2y1y2－m(y1＋y2)＋1，所以有(m2＋1)y1y2－m(y1＋y2)＋1＝0，得到＝0，可见m没有实数解，故▱ABCD不能是菱形．2．(2020·金华十校第二期调研)已知抛物线C：y＝x2，点P(0，2)，A，B是抛物线上两个动点，点P到直线AB的距离为1.(1)若直线AB的倾斜角为，求直线AB的方程；(2)求|AB|的最小值．解：(1)设直线AB的方程：y＝x＋m，则＝1，所以m＝0或m＝4，所以直线AB的方程为y＝x或y＝x＋4.(2)设直线AB的方程为y＝kx＋m，则＝1，所以k2＋1＝(m－2)2.由，得x2－kx－m＝0，所以x1＋x2＝k，x1x2＝－m，所以|AB|2＝[－4x1x2]＝＝，记f(m)＝(m2＋3)，所以f′(m)＝2(m－2)(2m2－2m＋3)，又k2＋1＝≥1，所以m≤1或m≥3，当m∈时，f′(m)＜0，f(m)单调递减，当m∈时，f′(m)＞0，f(m)单调递增，f(m)min＝f(1)＝4，所以|AB|min＝2.3．(2020·宁波市高考模拟)已知椭圆方程为＋y2＝1，圆C：(x－1)2＋y2＝r2.(1)求椭圆上动点P与圆心C距离的最小值；1(2)如图，直线l与椭圆相交于A，B两点，且与圆C相切于点M，若满足M为线段AB中点的直线l有4条，求半径r的取值范围．解：(1)设P(x，y)，|PC|＝＝＝，由－2≤x≤2，当x＝时，|PC|min＝.(2)当直线AB斜率不存在且与圆C相切时，M在x轴上，故满足条件的直线有2条；当直线AB斜率存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0),由，整理得＝－×，则kAB＝－，kMC＝，kMC×kAB＝－1，则kMC×kAB＝－×＝－1，解得x0＝，由M在椭圆内部，则＋y＜1，解得y＜，由r2＝(x0－1)2＋y＝＋y，所以＜r2＜，解得＜r＜.所以半径r的取值范围为(，).4.已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．(1)求实数m的取值范围；(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．解：(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b.由消去y，得x2－x＋b2－1＝0.因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋>0.①将线段AB的中点M代入直线方程y＝mx＋解得b＝－.②由①②得m<－或m>.(2)令t＝∈∪，则|AB|＝·，且O到直线AB的距离d＝.设△AOB的面积为S(t)，所以S(t)＝|AB|·d＝≤，当且仅当t2＝时，等号成立．故△AOB面积的最大值为.5．(2020·湘中名校联考)如图，曲线C由上半椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，是否存在直线l，使得以PQ为直径的圆恰好过点A，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)在C1，C2的方程中，令y＝0，可得b＝1，且A(－1，0)，B(1，0)是上半椭圆C1的左、右顶点．2设C1的半焦距为c，由＝及a2－c2＝b2＝1得a＝2.所以a＝2，b＝1.(2)由(1)知，上半椭圆C1的方程为＋x2＝1(y≥0)．易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，代入C1的方程，整理得(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.(*)设点P的坐标为(xP，yP)，因为直线l过点B，所以x＝1是方程(*)的一个根．由根与系数的关系，得xP＝，从而yP＝，所以点P的坐标为.同理，由得点Q的坐标为(－k－1，－k2－2k)．所以AP＝(k，－4)，AQ＝－k(1，k＋2)．因为AP⊥AQ，所以AP·AQ...
