直线新题速递直线是高考数学的重要内容，也是历年高考考查的重点．在近年高考或各地模拟试题中，相继出现了一些以直线为背景的创新题，有效地考查了考生的数学素养和创新能力．下面撷取几例，与同学们共享．一、折叠问题例1将一张坐标纸折叠一次，使得点(02)，与点(20)，重合，且点(20052006)，与点()mn，重合，则nm．解析：折叠之后点(02)，与点(20)，重合，两点关于直线yx对称．点(20052006)，关于直线yx的对称点为(20062005)()mn，，．2005(2006)1nm．例2在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，ABAD，边分别在x轴，y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图所示）．将矩形折叠，使A点落在线段DC上．若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程．解：①当0k时，A点与D点重合，折痕所在的直线方程为12y；②当0k时，设将矩形折叠后A落在线段CD上的点为(1)Ga，，所以A与G关于折痕所在的直线对称，故有1OGkk·，解得ak．故G点坐标为(1)Gk，．从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为122kM，．所以折痕所在的直线方程为122kykx，即2122kykx．由①，②得折痕所在的直线方程为0k时，12y；0k时，2122kykx．点评：上述两题以“折叠”为载体，考查了直线方程关于直线对称或者是点对称等知识，是一类情景新颖的活题，给直线方程问题又增添了“动”的活力．二、探索性问题例3已知三条直线123lxy：，2:4210lxy，3:10lxy，能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到1l的距离是P点到2l的距离的12；③P点到1l的距离与P点到3l的距离之比是25：．若能，求出P点坐标；若不能，说明理由．分析：求解本题所必需的工具是两个公式：平行直线间的距离公式及点到直线的距离公式．然后再根据①，②，③建立起来的方程组求解．解：设存在点00()Pxy，，且点P在20lxyc：上，由点P满足条件②，得1312255cc，用心爱心专心解得132c或116c．0013202xy或0011206xy．由点P满足条件③，得00002312552xyxy，即0000231xyxy．00240xy或0320x不可能，联立方程组000013202240xyxy，，解得001937.18xy，137918P，即为所求．例4设动点PQ，的坐标分别为()ab，和()xy，，且满足321xab，43yab，如果点P在直线l上移动，点Q也在直线l上移动，这样的直线l是否存在？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．分析：“点PQ，在直线l上移动”可以理解为直线既是由点P运动而成的，又是由点Q运动而成的，即直线l是经过PQ，两点的直线．这样，先设出直线l的方程，借助坐标变换，再由两直线重合的条件利用待定系数法求解．解：假设存在这样的直线l，设其方程为ykxm，点PQ，都在l上移动，于是有bkam，ykxm．又321xab，43yab，43(321)abkabm，即(31)(24)30kakbkm．此直线与直线bkam重合，则有312431kkkmkm，解得1258km，，或14.km，直线l的方程为4850xy或40xy．点评：上述两题都属于“存在型探索题”．解这类问题的一般方法是假设存在，利用相关知识加以推理．若推出矛盾，则假设不成立；否则，假设的命题成立．用心爱心专心
