高考数学二轮复习 专题五 立体几何 专题突破练16 空间中的垂直与几何体的体积 文-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题突破练16空间中的垂直与几何体的体积1.(2018江苏卷,15)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1⊥B1C1.求证:(1)AB∥平面A1B1C;(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.2.如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.(1)证明:AC⊥BD;(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD,若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.3.(2018江西南昌三模,文18)如图,多面体ABCDEF中,四边形ABCD为正方形,AB=2,AE=3,DE=,EF=,cos∠CDE=,且EF∥BD.(1)证明:平面ABCD⊥平面EDC;(2)求三棱锥A-EFC的体积.4.如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置.(1)证明:AC⊥HD';(2)若AB=5,AC=6,AE=,OD'=2,求五棱锥D'-ABCFE的体积.5.(2018河南郑州三模,文19)如图,四棱锥E-ABCD中,AD∥BC,AD=AB=AE=BC=1,且BC⊥底面ABE,M为棱CE的中点,(1)求证:直线DM⊥平面CBE;(2)当四面体D-ABE的体积最大时,求四棱锥E-ABCD的体积.6.如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求证:BF⊥平面ACFD;(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.7.(2018全国卷3,文19)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC∥平面PBD?说明理由.8.如图(1),在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=6,CE⊥AD于点E,把△DEC沿CE折到△D'EC的位置,使D'A=2,如图(2).若G,H分别为D'B,D'E的中点.(1)求证:GH⊥D'A;(2)求三棱锥C-D'BE的体积.参考答案专题突破练16空间中的垂直与几何体的体积1.证明(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C,A1B1⊂平面A1B1C,所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1为菱形,因此AB1⊥A1B.又因为AB1⊥B1C1,BC∥B1C1,所以AB1⊥BC.又因为A1B∩BC=B,A1B⊂平面A1BC,BC⊂平面A1BC,所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1⊂平面ABB1A1,所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.2.(1)证明取AC的中点O,连接DO,BO.因为AD=CD,所以AC⊥DO.又由于△ABC是正三角形,所以AC⊥BO.从而AC⊥平面DOB,故AC⊥BD.(2)解连接EO.由(1)及题设知∠ADC=90°,所以DO=AO.在Rt△AOB中,BO2+AO2=AB2.又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故∠DOB=90°.由题设知△AEC为直角三角形,所以EO=AC.又△ABC是正三角形,且AB=BD,所以EO=BD.故E为BD的中点,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的,即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1∶1.3.(1)证明 AB=2,AE=3,DE=,由勾股定理得AD⊥DE.又正方形ABCD中AD⊥DC,且DE∩DC=D,∴AD⊥平面EDC. AD⊂面ABCD,∴平面ABCD⊥平面EDC.(2)解由已知cos∠CDE=,连接AC交BD于G.作OE⊥CD于O,则OD=DE·cos∠CDE=1,OE=2.又由(1)知,平面ABCD⊥平面EDC,平面ABCD∩平面EDC=CD,OE⊂平面EDC,得OE⊥面ABCD.由EF∥BD,EF=,知四边形DEFG为平行四边形,即DE∥FG,而VA-EFC=VE-AFC,进而VA-EFC=VE-AFC=VD-AFC=VF-ADC.又由EF∥BD,VF-ADC=VE-ADC=×2×2×2=,所以,三棱锥A-EFC的体积为.4.(1)证明由已知得AC⊥BD,AD=CD.又由AE=CF得,故AC∥EF.由此得EF⊥HD,EF⊥HD',所以AC⊥HD'.(2)解由EF∥AC得.由AB=5,AC=6得DO=BO==4.所以OH=1,D'H=DH=3.于是OD'2+OH2=(2)2+12=9=D'H2,故OD'⊥OH.由(1)知AC⊥HD',又AC⊥BD,BD∩HD'=H,所以AC⊥平面BHD',于是AC⊥OD'.又由OD'⊥OH,AC∩OH=O,所以,OD'⊥平面ABC.又由得EF=.五边形ABCFE的面积S=×6×8-×3=.所以五棱锥D'-ABCFE的体积V=×2.5.解(1) AE=AB,设N为EB的中点,∴AN⊥EB.又BC⊥平面AEB,AN⊂平面AEB,∴BC⊥AN.又BC∩BE=B,∴AN⊥平面BCE. MN∥BC,MN=BC,∴AD􀱀MN.∴四边形ANMD为平行四边形,DM∥AN,∴DM⊥平面CBE.(2)设∠EAB=θ,AD=AB=AE=1,且AD⊥底面ABE,则四面体D-ABE的体积V=×AE·AB·sinθ·AD=sinθ,当θ=90°,即AE⊥AB时体积最大.又BC⊥平面AEB,AE⊂平面AEB,∴AE⊥BC, BC∩AB=B,∴AE⊥平面ABC,VE-ABCD=×(1+2)×1×1=.6.(1)证明延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示.因为平面BCFE⊥平面ABC,且AC⊥BC,所以AC⊥平面BCK,因此BF⊥AC.又因为EF∥BC...