专题限时训练(十七)圆锥曲线中的热点问题(时间：45分钟分数：80分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A．1B.C．2D．2答案：D解析：设椭圆C：＋＝1(a>b>0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，所以S＝×2c×b＝bc＝1≤＝，所以a2≥2，所以a≥，所以长轴长2a≥2.故选D.2．经过椭圆＋＝1的右焦点任意作弦AB，过A作直线x＝4的垂线AM，垂足为M，则直线BM必经过定点()A．(2,0)B.C．(3,0)D.答案：B解析：依题意，选取过椭圆＋＝1的右焦点且垂直于x轴的弦AB，则A，B的坐标分别为，，所以过点A作直线x＝4的垂线，垂足为M，所以直线BM的方程为y＝x－，由于所给选项均为x轴上的点，而直线BM与x轴的交点为.故选B.3．如图，已知点B是椭圆＋＝1(a>b>0)的短轴位于x轴下方的端点，过B作斜率为1的直线交椭圆于点M，点P在y轴上，且PM∥x轴，BP·BM＝9，若点P的坐标为(0，t)，则t的取值范围是()A.(0,3)B．(0,3]C.D.答案：C解析：因为P(0，t)，B(0，－b)，所以M(t＋b，t)．所以BP＝(0，t＋b)，BM＝(t＋b，t＋b)．因为BP·BM＝9，所以(t＋b)2＝9，t＋b＝3.因为00，b>0)渐近线的距离为，点P是抛物线y2＝8x上的一动点，P到双曲线C的焦点F1(0，c)的距离与到直线x＝1－2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为()A.－＝1B．y2－＝1C.－x2＝1D.－＝1答案：C解析：由题意得，抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的方程为ax－by＝0， 抛物线y2＝8x的焦点F到双曲线C：－＝1(a>0，b>0)渐近线的距离为，∴＝，∴a＝2b. P到双曲线C的上焦点F1(0，c)的距离与到直线x＝－2的距离之和的最小值为3，∴|FF1|＝3，∴c2＋4＝9，∴c＝， c2＝a2＋b2，a＝2b，∴a＝2，b＝1.∴双曲线的方程为－x2＝1.故选C.5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若双曲线上存在点P满足＝，则该双曲线的离心率的取值范围为()A．(1，＋1)B．(1，)C．(，＋∞)D．(＋1，＋∞)答案：A解析：根据正弦定理得＝，所以由＝，可得＝，即＝＝e，所以|PF1|＝e|PF2|.因为e>1，所以|PF1|>|PF2|，点P在双曲线的右支上．|PF1|－|PF2|＝e|PF2|－|PF2|＝|PF2||e－1|＝2a.解得|PF2|＝，因为|PF2|>c－a，所以>c－a，即>e－1，即(e－1)2<2，解得1－1，所以e∈(1，＋1)．故选A.二、填空题(共3小题，满分15分)6．(2015·沈阳二模)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，且满足FA＋FB＋FC＝0，则＋＋＝________.答案：0解析：F，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，由FA＋FB＋FC＝0知，＋＋＝(0,0)，故y1＋y2＋y3＝0， ＝＝＝，同理可知＝，＝，∴＋＋＝＝0.7．P为双曲线x2－＝1右支上一点，M，N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为________．答案：5解析：已知两圆圆心(－4,0)和(4,0)(记为F1和F2)恰为双曲线x2－＝1的两焦点．当|PM|最大，|PN|最小时，|PM|－|PN|最大，|PM|最大值为P到圆心F1的距离|PF1|与圆F1半径之和，同样|PN|min＝|PF2|－1，从而|PM|－|PN|＝|PF1|＋2－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|2＋3＝2a＋3＝5.8．(2014·湖南卷)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则＝________.答案：1＋解析：由正方形的定义可知BC＝CD，结合抛物线的定义得点D为抛物线的焦点，所以|AD|＝p＝a，D，F，将点F的坐标代入抛物线的方程得b2＝2p＝a2＋2ab，变形得2－－1＝0，解得＝1＋或＝1－(舍去)，所以＝1＋.三、解答题(9题12分，10题、11题每题14分，共40分)9．如图，经过点P(2,3)，且中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为.(1)求椭圆M的方程；(2)若椭圆M的弦PA，PB所在直线分别交x轴于点C，D，且|PC|＝|PD|，求证：直线AB的斜率为定值．解：(1)设椭圆M的方程为＋＝1(a>b>0)，则＋＝1，且e2＝＝，解得a2＝16，b2＝12.故椭圆M的方程为＋＝1.(2)...
