第三节函数的奇偶性与周期性A组基础题组1.函数f(x)=1x-x的图象关于()A.y轴对称B.直线y=-x对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称答案C易知f(x)=1x-x是奇函数,所以图象关于原点对称.2.已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+m,则f(-2)=()A.-3B.-54C.54D.3答案A因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,即f(0)=20+m=0,解得m=-1,则f(-2)=-f(2)=-(22-1)=-3.3.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x+1)=1f(x),若f(x)在[-1,0]上是减函数,则f(x)在[2,3]上是()A.增函数B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数答案A由题意知f(x+2)=1f(x+1)=f(x),所以f(x)是以2为周期的周期函数,又函数f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x)在[-1,0]上是减函数,则f(x)在[0,1]上是增函数,所以f(x)在[2,3]上是增函数.4.设f(x)是定义在R上的周期为3的函数,当x∈[-2,1]时,f(x)={4x2-2,-2≤x≤0,x,0
0,∴f(x)在[-2,0]上也是增函数,且f(x)<0.1∴当x∈(2,4)时,f(x)=-f(x-4)>0,且f(x)为减函数.∵f(-25)=f(-1)<0,f(11)=f(3)>0,f(80)=f(0)=0,∴f(-25)0时,f(x)=x2-x,则当x<0时,函数f(x)的最大值为.答案14解析设x<0,则-x>0,所以f(-x)=x2+x,又函数f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-x2-x=-(x+12)2+14,所以当x<0时,函数f(x)的最大值为14.8.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是.答案(-1,3)解析∵f(2)=0,f(x-1)>0,∴f(x-1)>f(2),又∵f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上单调递减,∴f(|x-1|)>f(2),∴|x-1|<2,∴-20时,f(x)=x1-3x.(1)求当x<0时,f(x)的解析式;(2)解不等式f(x)<-x8.解析(1)当x<0时,-x>0,∵f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x)=--x1-3-x=x1-3-x.2(2)f(x)<-x8,当x>0时,x1-3x<-x8,所以11-3x<-18,所以13x-1>18,所以3x-1<8,解得x<2,所以x∈(0,2);当x<0时,x1-3-x<-x8,所以11-3-x>-18,所以3-x>32,所以x<-2,所以原不等式的解集是(-∞,-2)∪(0,2).10.已知函数f(x)={-x2+2x,x>0,0,x=0,x2+mx,x<0是奇函数.(1)求实数m的值;(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.解析(1)设x<0,则-x>0,所以f(x)=x2+mx,f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-x2-2x=-x2-mx,所以m=2.(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,结合f(x)的图象(图略)知{a-2>-1,a-2≤1,所以1b>cB.c>a>bC.b>c>aD.a>c>b答案D∵偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),∴函数的周期为2.∴a=f(-2.8)=f(-0.8),b=f(-1.6)=f(0.4)=f(-0.4),c=f(0.5)=f(-0.5).∵函数f(x)在[-1,0]上单调递减,且-0.8<-0.5<-0.4,∴a>c>b,故选D.4.设函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.(1)求f(π)的值;(2)当-4≤x≤4时,求函数f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.解析(1)由f(x+2)=-f(x)得,f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,所以f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.(2)由f(x)是奇函数且f(x+2)=-f(x),得f((x-1)+2)=-f(x-1)=f(-(x-1)),即f(1+x)=f(1-x).所以函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.又当0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示.当-4≤x≤4时,设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,则S=4S△OAB=4×(12×2×1)=4.45
