直线与圆的方程中的六种数学思想方法1.数形结合的思想例1设k，a是实数，要使关于x的方程|2x-1|=k(x-a)+a对于k的一切值都有解，求实数a的取值范围．解在平面直角坐标系中分别画出l1：y=|2x-1|和l2：y=k(x-a)+a的图象(如图)，其中l2是过点M(a，a)且斜率为k的直线系，l1是折线y=2x-1(x≥21)和y=-2x+1(x<21)．由图形的直观性可知要使原方程对于k的一切值都有解的几何意义是直线l2绕点M(a，a)旋转时都与折线l1相交，点M必须位于过C(21，0)的两条射线上或射线的上方． 1212aaaa∴31≤a≤1．例2已知定点A(1，1)，B(3，3)，动点P在x轴上，若∠APB取得最大值，则点P的坐标是………………()A.这样的点P不存在B．(2，O)C．(3，O)D．(6，O)分析由A、B两点坐标及位置特点，可以看出，动点P在x轴正半轴上的某个位置可能使么∠APB取最大值，此题若设P(x，O)，用到角公式表示出tanAPB，再求使之取得最大值时的P点坐标显然较繁．而利用平面几何中的圆外角小于圆周角，设过AB且与x轴正半轴相切的圆与x轴的切点为P，(如图)则P点即为所求的点，而|OP|2=|OA|·|OB|=2·18=6∴|0P|=6，点P(6，0)，故选D．2.分类讨论的思想例3求与点P(4，3)的距离为5，且在两坐标轴的截距相等的直线方程．解(1)若截距a≠O，可设直线方程为：ax+ay=1即x+y-a=0由已知：2|34|a=5可得：a=7士32(2)若截距a=O，由于OP所在的直线方程为y=43x，且|OP|=5∴所求直线方程为y=-34x综上，所求直线方程为x-y-7-52=0或x+y-7+52=0或4x+3y=O对含有参数的数学问题求解时要注意运用分类讨论的数学思想，正确、严密用心爱心专心地求解．例4讨论直线l：3x+4y+m=0与圆C：x2+y2-2x=O的位置关系．分析先求得圆C的圆心C(1，O)和半径r=1，再得圆心C到直线l的距离d=5|3|m，最后按dr三种情况讨论直线与圆相交、相切、相离时m的取值范围．解当d=5|3|m<1，即-81，即m<-8或m>2时，直线与圆相离．3.参数思想例5已知直线(a-2)y=(3a-1)x-1(1)求证无论a为何值，直线总过第一象限．(2)为使这直线不过第二象限，求a的范围．解(1)将方程整理得为a(3x-y)+(-x+2y-1)=O对任意实数a，恒过直线3x-y=O与x-2y+1=0的交点(51，53)，∴直线系恒过第一象限内的定点(51，53)；(2)当a=2时，直线为x=51不过第二象限；当a≠2时，直线方程化为：y=213aax-21a，不过第二象限的充要条件为0210213aaa或0210213aaaa>2，总之，a≥2时直线不过第二象限．例6过点P(2，1)作直线l，与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，|PA|·|PB|的最小值及此时l的方程．分析本题除了用斜率、角度作为参数外，我们再给出以直线的参数方程来求解的方法．解设直线AB的倾斜角为(2<<),则直线AB的参数方程为sin1cos2tytx令x=O，则得B点所对应的参数t=-cos2，用心爱心专心令y=O，则得A点所对应的参数t=-sin1∴|PA|·|PB|=|-cos2|·|-sin1|=|2sin|4当a=43时|PA|·|PB|有最小值4，此时直线l的方程为43sin143cos2tytx即tytx2212224.待定系数法的思想：根据给定条件求直线和圆方程时，待定系数法和代点法是常用的方法．例7已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过一定点P(6，-2)，求直线的方程．解法一设直线l的方程为ax+by=1．① 直线l过点(6，-2)，∴a6-b2=1．②又 a=b+1．代入②整理得b2-3b+2=O，解之b1=1，b2=2，∴a1=2，a2=3．代入①得所求的直线方程为x+2y-2=O或2x+3y-6=O．解法二设所求直线l的斜率为k，又直线l过定点P(6，-2)，于是直线l的方程是y+2=k·(x-6)，即kkx26+)26(ky=1.依题意知kk26+6k+2=1,∴k=-32或k=-21.∴直线l的方程是y+2=-32(x-6)或y+2=-21(x-6)，即x+2y-2=O或2x+3y-6=O．例8已知△ABC中，A点坐标为(1，2)，AB边和AC边上的中线方程分别为5x-3y-3=O和7x-3y-5=O，求BC边所在直线方程．分析欲求BC边的方程，没有直接的已知条件，可设B(x1，y1)，C(x2，y2)，然后用两点式得方程．解设C(x1,y1)，AB中点坐...
