专题能力提升练十二用空间向量的方法解立体几何问题(45分钟80分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.B.C.D.【解析】选C.补成四棱柱ABCD-A1B1C1D1,如图所示,连接BD,DC1,则所求角为∠BC1D,因BC1=,BD==,C1D=AB1=,因此,cos∠BC1D==.2.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BB1=4,则BB1与平面ACD1所成角θ的正弦值为()A.B.C.D.【解题导引】建立空间直角坐标系.求出平面ACD1的法向量为n,利用sinθ=|cos|=即可得出.【解析】选A.如图所示,建立空间直角坐标系.则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,4),B(2,2,0),B1(2,2,4),=(-2,2,0),=(-2,0,4),=(0,0,4).设平面ACD1的一个法向量为n=(x,y,z),则解得取n=(2,2,1),则sinθ=|cos|===.3.在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是边长为1的正三角形,侧棱AA1⊥底面ABC,点D在棱BB1上,且BD=1,若AD与平面AA1C1C所成的角为α,则sinα的值是()A.B.C.D.【解析】选D.如图,建立空间直角坐标系,易求点D,平面AA1C1C的一个法向量是n=(1,0,0),所以cos==,即sinα=.4.如图,已知正四面体D-ABC(所有棱长均相等的三棱锥),P,Q,R分别为AB,BC,CA上的点,AP=PB,==2,分别记二面角D-PR-Q,D-PQ-R,D-QR-P的平面角为α,β,γ,则()A.γ<α<βB.α<γ<βC.α<β<γD.β<γ<α【解析】选B.设O为三角形ABC的中心,则O到PQ的距离最小,O到PR的距离最大,O到RQ的距离居中,而高相等,因此α<γ<β.【加固训练】(2018·西安调研)已知六面体ABC-A1B1C1是各棱长均等于a的正三棱柱,D是侧棱CC1的中点,则直线CC1与平面AB1D所成的角为()A.45°B.60°C.90°D.30°【解析】选A.如图所示,取AC的中点N,连接NB,以N为坐标原点,NB,NC所在直线分别为x轴,y轴,建立空间直角坐标系.则A,C,B1,D,C1,所以=,=,=(0,0,a).设平面AB1D的法向量为n=(x,y,z),由n·=0,n·=0,可取n=(,1,-2).所以cos<,n>===-,因为直线与平面所成角θ的范围是0°≤θ≤90°,所以直线CC1与平面AB1D所成的角为45°.5.(2018·海口一模)如图,AB是☉O的直径,PA垂直于☉O所在平面,点C是圆周上不同于A,B两点的任意一点,且AB=2,PA=BC=,则二面角A-BC-P的大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选C.因为AB是☉O的直径,PA垂直于☉O所在平面,点C是圆周上不同于A,B两点的任意一点,且AB=2,PA=BC=,所以AC⊥BC,AC===1,以点A为原点,在平面ABC内过点A作AC的垂线为x轴,AC为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,P(0,0,),B(,1,0),C(0,1,0),=(,1,-),=(0,1,-),设平面PBC的法向量n=(x,y,z),则取z=1,得n=(0,,1),平面ABC的法向量m=(0,0,1),设二面角A-BC-P的平面角为θ,则cosθ==,所以θ=60°,所以二面角A-BC-P的大小为60°.6.如图所示,三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为3,底面边长A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°,D点在棱AA1上且AD=2DA1,P点在棱C1C上,则·的最小值为()A.B.-C.D.-【解析】选B.由题意,以C点为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(1,0,2),B1(0,1,3),设P(0,0,z),其中0≤z≤3,则=(1,0,2-z),=(0,1,3-z),所以·=0+0+(2-z)(3-z)=-,故当z=时,·取得最小值-.二、填空题(每小题5分,共10分)7.(2018·西安一模)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,MN是正方体内切球的直径,点P为正方体表面上的动点,则·的最大值为________.【解析】连接PO,可得·=(+)·(+)=+·(+)+·=-,当||取得最大值时,·取得最大值为-=.答案:8.设二面角α-CD-β的大小为45°,A点在平面α内,B点在CD上,且∠ABC=45°,则AB与平面β所成角的大小为________.【解析】如图,作AE⊥平面β于点E,在平面β内过E作EF⊥CD于点F,连接AF,因为AE⊥CD,AE∩EF=E,所以CD⊥平面AEF,所以AF⊥CD,所以∠AFE为二面角α-CD-β的平面角,所以∠AFE=45°,因为∠ABC=45°,所以∠BAF=45°.连接BE,则∠ABE为AB与平面β所成的角.设AE=m,则EF=m,AF=m,BF=m,AB=2m,所以sin∠ABE==,又因为∠ABE为锐角,所以∠ABE=30°.答案30°三、解答题(共40分)9.(2018·全国卷Ⅰ)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF.(1)证明:平面PEF⊥平面ABFD.(2)求DP与...
