第九章平面解析几何第7课时椭圆(2)1.在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为________．答案：解析：由题意得＝，－c＝1，解得a2－c2＝c，即b2＝c，所以离心率e＝.2.已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－2)、(0，2)，并且椭圆经过点，则椭圆的标准方程为__．答案：＋＝1解析： 椭圆焦点在y轴上，故设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由椭圆的定义知，2a＝＋＝＋＝2，∴a2＝10.又c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6，∴椭圆的标准方程为＋＝1.3.已知椭圆的焦点在y轴上，a2＋b2＝5，且过点(－，0)，则椭圆的标准方程为________________________________________________________________________．答案：＋＝1解析：设椭圆方程为＋＝1,∴＝1，即b2＝2.又a2＋b2＝5，∴a2＝3，∴椭圆的标准方程为＋＝1.4.已知椭圆经过两点和(，)，则椭圆的标准方程为________________________________________________________________________．答案：＋＝1解析：设椭圆方程为＋＝1(m、n>0),由解得所以椭圆方程为＋＝1.5.已知椭圆＋y2＝1的两焦点为F1、F2，点M在椭圆上，MF1·MF2＝0，则M到y轴的距离为________．答案：解析：由条件知，点M在以线段F1F2为直径的圆上，该圆的方程是x2＋y2＝3，即y2＝3－x2，代入椭圆方程得＋3－x2＝1，解得x2＝，则|x|＝，即点M到y轴的距离为.6.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e.若椭圆上存在点P，使得＝e，则该椭圆离心率e的取值范围是________．答案：[－1，1)解析： ＝e，∴PF1＝ePF2＝e(2a－PF1)，PF1＝.又a－c≤PF1≤a＋c，∴a－c≤≤a＋c，即a(1－e)≤≤a(1＋e)，亦即1－e≤≤1＋e，解得e≥－1.又0＜e＜1,∴－1≤e<1.7.设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6，4)，则PM＋PF1的最大值为________．答案：15解析： P在椭圆上，∴PF1＋PF2＝2a＝10，∴PM＋PF1＝PM＋10－PF2＝10＋PM－PF2≤10＋MF2＝10＋5＝15，当P、M、F2三点共线时取等号．8.以O为中心，F1、F2为两个焦点的椭圆上存在一点M，满足|MF1|＝2|MO|＝2|MF2|，则该椭圆的离心率为________．答案：解析：不妨设F1为椭圆的左焦点，F2为椭圆的右焦点．过点M作x轴的垂线，交x轴于N点，则N点坐标为，并设|MF1|＝2|MO|＝2|MF2|＝2t，根据勾股定理可知，|MF1|2－|NF1|2＝|MF2|2－|NF2|2，得到c＝t，而a＝，则e＝＝.9.已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A、B分别在椭圆C1和C2上，OB＝2OA，求直线AB的方程．解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1(a>2)，其离心率为，故＝，解得a＝4，故椭圆C2的方程为＋＝1.(2)A、B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由OB＝2OA及(1)知，O、A、B三点共线且点A、B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以x＝.将y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，所以x＝.又由OB＝2OA，得x＝4x，即＝，解得k＝±1.故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.10.已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点.(1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O的直线l与该椭圆交于P、Q两点，满足直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．解：(1)由题意可设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则故所以椭圆的方程为＋y2＝1.(2)由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由消去y得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，则Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)＞0，且x1＋x2＝，x1x2＝.因为直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，所以·＝＝k2，即＋m2＝0.又m≠0，所以k2＝，即k＝±.由于直线OP、OQ的斜率存在，且Δ＞0，得0＜m2＜2且m2≠1.设点O到直线l的距离为d，则S△OPQ＝d·PQ＝··＝|x1－x2||m|＝，又0＜m2＜2且m2≠1，所以S△OPQ的取值范围为(0，1)．11.如图，椭圆C：＋＝1的右顶点是A，上、下两个顶点分别为B、D，四边形OAMB是矩形(O为坐标原点)，...
