第2讲直线与圆锥曲线的位置关系(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号直线与圆锥曲线的位置关系1,4圆锥曲线的弦长问题2,5,6中点弦问题6轨迹方程7综合问题3一、选择题1.(2018·广东珠海九月摸底)已知抛物线C:y2=4x,过点P(-2,0)作直线l与C交于A,B两点,直线l的斜率为k,则k的取值范围是(A)(A)(-,0)∪(0,)(B)[-,](C)(-,)(D)[-,0)∪(0,]解析:设直线l的方程为y=k(x+2),由得k2x2+4(k2-1)x+4k2=0,当k=0时,不合题意,当k≠0时,Δ=16(k2-1)2-16k4>0,所以0b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1且与双曲线C的一条渐近线垂直的直线l与C的两条渐近线分别交于M,N两点,若|NF1|=2|MF1|,则双曲线C的渐近线方程为.解析:不妨设C与渐近线y=x垂直,则直线l:y=-(x+c),由得M(-,-),由得N(-,),因为|NF1|=2|MF1|,所以M为NF1的中点,所以=-,即c2=-2(a2-b2),所以a2+b2=-2a2+2b2,所以=,故双曲线的渐近线方程为y=±x.答案:y=±x三、解答题4.(2018·珠海二模)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F(0,1).(1)求p的值;(2)过F的直线l交抛物线C于点A,B,以AB为直径的圆交x轴于点M,N,设AB中点为Q,求∠QMN的最小值,并求此时直线l的方程.解:(1)因为抛物线的焦点为F(0,1),所以=1,即p=2.(2)由(1)可知抛物线C:x2=4y,设A(x1,y1),B(x2,y2),设直线l的方程为y=kx+1,代入x2=4y得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4,y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2,所以AB的中点Q为(2k,2k2+1),所以|AB|=y1+y2+2=k(x1+x2)+4=4k2+4,在等腰三角形QMN中,∠QMN为锐角,sin∠QMN==1-≥1-=,所以∠QMN的最小值为,此时k=0,即直线l的方程为y=1.5.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的下顶点为A,右顶点为B,离心率e=.抛物线E:y=的焦点为F,P是抛物线E上一点,抛物线E在点P处的切线为l,且l∥AB.(1)求直线l的方程;(2)若l与椭圆C相交于M,N两点,且S△FMN=,求椭圆C的标准方程.解:(1)因为e2=1-=,所以=,所以kAB=,又l∥AB,所以直线l的斜率为.设P(t,),由y=得y′=,因为过点P的直线l与抛物线E相切,所以=,解得t=2,所以P(2,),所以直线l的方程为x-2y-1=0.(2)法一设M(x1,y1),N(x2,y2),由得2x2-2x+1-4b2=0,则x1+x2=1,x1x2=,易知Δ=4-8(1-4b2)>0,解得b2>,所以|x1-x2|==.l:x-2y-1=0中,令x=0得y=-,则l交y轴于点D(0,-),又抛物线焦点为F(0,2),所以|FD|=2+=,所以S△FMN=|FD|×|x1-x2|=×=,解得b2=4,所以椭圆C的标准方程为+=1.法二设M(x1,y1),N(x2,y2),由得2x2-2x+1-4b2=0,则x1+x2=1,x1x2=,易知Δ=4-8(1-4b2)>0,解得b2>,所以|x1-x2|==.|MN|=|x1-x2|=,l:x-2y-1=0,抛物线焦点为F(0,2),则点F到直线l的距离d==,所以S△FMN=|MN|×d=××=,解得b2=4,所以椭圆C的标准方程为+=1.6.在平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:+=1(a>b>0)右焦点的直线x+y-=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.(1)求M的方程;(2)C,D为M上的两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则+=1,+=1,=-1,由此可得=-=1.因为x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,=,所以=,所以a2=2b2.又由题意知,M的右焦点的坐标为(,0),故a2-b2=3,因此a2=6,b2=3,所以M的方程为+=1.(2)由解得或因此|AB|=.由题意可设直线CD的方程为y=x+n(-0,得b2<2+2k2.①由根与系数的关系,得x1+x2=-,x1x2=.②由k1·k2=·=·=3,得(kx1+b)(kx2+b)=3x1x2,即(k2-3)x1x2+bk(x1+x2)+b2=0,③将②代入③,整理得b2=3-k2.④由④得b2=3-k2≥0,解得-≤k≤.⑤由①和④,解得k<-或k>.⑥要使k1,k2,k有意义,则x1≠0,x2≠0,所以0不是方程(*)的根,所以b2-2≠0,即k≠1且k≠-1.⑦由⑤⑥⑦,得k的取值范围为[-,-1)∪(-1,-)∪(,1)∪(1,].
