第二讲参数方程一、曲线的参数方程第1课时参数方程的概念、参数方程与普通方程的互化A级基础巩固一、选择题1．方程(θ为参数)所表示曲线经过下列点中的()A．(1，1)B.C.D.解析：当θ＝时，x＝，y＝，所以点在方程(θ为参数)所表示的曲线上．答案：C2．下列方程可以作为x轴的参数方程的是()A.B.C.D.解析：x轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.答案：D3．由方程x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0(t为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为()A.(t为参数)B.(t为参数)C.(t为参数)D.(t为参数)解析：设(x，y)为所求轨迹上任一点．由x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0得：(x－2t)2＋(y－t)2＝4＋2t2.所以(t为参数)答案：A4．参数方程(θ为参数)化为普通方程是()A．2x－y＋4＝0B．2x＋y－4＝0C．2x－y＋4＝0，x∈[2，3]D．2x＋y－4＝0，x∈[2，3]解析：由x＝2＋sin2θ，则x∈[2，3]，sin2θ＝x－2，y＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ＝－2x＋4，即2x＋y－4＝0.故化为普通方程为2x＋y－4＝0，x∈[2，3]．答案：D5．设曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线C上到直线l的距离为的点的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：由得(x－2)2＋(y＋1)2＝9.曲线C表示以点(2，－1)为圆心，以3为半径的圆，则圆心C(2，－1)到直线l的距离d＝＝＜3，所以直线与圆相交，所以过圆心(2，－1)与l平行的直线与圆的2个交点满足题意，又3－d＜，故满足题意的点有2个．1答案：B二、填空题6．若x＝cosθ，θ为参数，则曲线x2＋(y＋1)2＝1的参数方程为______________．解析：把x＝cosθ代入曲线x2＋(y＋1)2＝1，得cos2θ＋(y＋1)2＝1，于是(y＋1)2＝1－cos2θ＝sin2θ，即y＝－1±sinθ.由于参数θ的任意性，可取y＝－1＋sinθ，因此，曲线x2＋(y＋1)2＝1的参数方程为(θ为参数)．答案：(θ为参数)7．已知某条曲线C的参数方程为(其中t为参数，a∈R)．点M(5，4)在该曲线上，则常数a＝________．解析：因为点M(5，4)在曲线C上，所以解得所以a的值为1.答案：18．已知在平面直角坐标系xOy中圆C的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为ρcos＝0，则圆C截直线所得弦长为________．解析：圆C的参数方程为圆心为(，1)，半径为3，直线的普通方程为ρ＝x－y＝0，即x－y＝0，圆心C(，1)到直线x－y＝0的距离为d＝＝1，所以圆C截直线所得弦长|AB|＝2＝2＝4.答案：4三、解答题9．已知弹道曲线的参数方程为(t为参数)．(1)求炮弹从发射到落地所需时间；(2)求炮弹在运动中达到的最大高度．解：(1)令y＝0，则2tsin－gt2＝0，解之得t＝.所以炮弹从发射到落地所需要的时间为.(2)y＝2tsin－gt2＝－gt2＋t＝－g＝－g＝－g＋，所以当t＝时，y取最大值.即炮弹在运动中达到的最大高度为.10．过M(0，1)作椭圆x2＋＝1的弦，试求弦中点的轨迹的参数方程．解：设过M(0，1)的弦所在的直线方程为y＝kx＋1，其与椭圆的交点为(x1，y1)和(x2，y2)，设中点P(x，y)则有：x＝，y＝.由得：(k2＋4)y2－8y＋4－4k2＝0，所以y1＋y2＝，x1＋x2＝.所以(k为参数)，这就是以动弦斜率k为参数的动弦中点的轨迹的参数方程．2B级能力提升1．当参数θ变化时，由点P(2cosθ，3sinθ)所确定的曲线过点()A．(2，3)B．(1，5)C.D．(2，0)解析：先将P(2cosθ，3sinθ)化为方程为＋＝1，再将选项代进去，可得到的是(2，0)．答案：D2．动点M作匀速直线运动，它在x轴和y轴方向的分速度分别为9和12，运动开始时，点M位于A(1，1)，则点M的参数方程为________．解析：设M(x，y)，则在x轴上的位移为x＝1＋9t，在y轴上的位移为y＝1＋12t.所以参数方程为：答案：(t为参数)3．在直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)．以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)若P(x，y)在直线l上，且在曲线C内，求x－y的取值范围；(3)若Q(x，y)在曲线C上，求Q到直线l的最大距离dmax.解：(1)因为ρ＝2sinθ，所以ρ2＝2ρsinθ，所以x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1.(2)因为x－y＝t－＝－t－1，又－1＜t＜1.所以－＜－t＜，所以－＜－t－1＜－，即x－y的取值范围是.(3)曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的普通方程为4x－3y＋3＝0，d＝＝|sin(θ－φ)|，tanφ＝，所以dmax＝1.3
