30空间角的突破方略1．(2014·课标全国Ⅱ改编)直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为________．答案解析方法一由于∠BCA＝90°，三棱柱为直三棱柱，且BC＝CA＝CC1，可将三棱柱补成正方体．建立如图(1)所示空间直角坐标系．设正方体棱长为2，则可得A(0,0,0)，B(2,2,0)，M(1,1,2)，N(0,1,2)，∴BM＝(－1，－1,2)，AN＝(0,1,2)．∴cos〈BM，AN〉＝＝＝＝.方法二如图(2)，取BC的中点D，连结MN，ND，AD，由于MN綊B1C1綊BD，因此有ND綊BM，则ND与NA所成的角即为异面直线BM与AN所成的角．设BC＝2，则BM＝ND＝，AN＝，AD＝，因此cos∠AND＝＝.2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是________．答案解析建立空间直角坐标系如图所示．设正方体的棱长为1，直线BC1与平面A1BD所成的角为θ，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，∴DA1＝(1,0,1)，DB＝(1,1,0)，BC1＝(－1,0,1)．设n＝(x，y，z)是平面A1BD的一个法向量，则令z＝1，则x＝－1，y＝1.∴n＝(－1,1,1)，∴sinθ＝|cos〈n，BC1〉|＝||＝.3．如图，过正方形ABCD的顶点A，引PA⊥平面ABCD.若PA＝BA，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是________．答案45°解析如图，取PD中点E，连结AE，则AE⊥平面PCD，故二面角的平面角∠APE＝45°.4.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是________．答案解析以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A1(1,0,2)，B(0,1,0)，A(1，0,0)，C(0,0,0)，则A1B＝(－1,1，－2)，AC＝(－1,0,0)，cos〈A1B，AC〉＝＝＝.5．在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，AB＝PD＝a.点E为侧棱PC的中点，又作DF⊥PB交PB于点F，则PB与平面EFD所成角为________．答案90°解析建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz，D为坐标原点，则P(0,0，a)，B(a，a,0)，E(0，，)．故PB＝(a，a，－a)，DE＝，所以PB·DE＝0＋－＝0，所以PB⊥DE，由已知DF⊥PB，且DF∩DE＝D，所以PB⊥平面EFD，所以PB与平面EFD所成角为90°.6．在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中点，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于________．答案解析以D为原点，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，∴F(1,0,0)，D1(0,0,2)，O(1,1,0)，E(0,2,1)，∴FD1＝(－1,0,2)，OE＝(－1,1,1)，∴cos〈FD1，OE〉＝＝.7．如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是________．答案60°解析以BC，BA，BB1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设AB＝BC＝AA1＝2，则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，则EF＝(0，－1,1)，BC1＝(2,0,2)，∴EF·BC1＝2，∴cos〈EF，BC1〉＝＝，∴EF和BC1所成的角为60°.8．(2014·苏州调研)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________．答案解析如图，建立空间直角坐标系D－xyz，则D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，A1(1,0,1)，B(1,2,0)，所以D1C1＝(0,2,0)，A1C1＝(－1,2,0)，A1B＝(0,2，－1)，设平面A1BC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，由得令y＝1，得n＝(2,1,2)，设D1C1与平面A1BC1所成角为θ，则sinθ＝|cos〈D1C1，n〉|＝＝＝.9.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是________．答案90°解析方法一连结MD1，易证△DD1M≌△CDN，则∠NDM＝∠DD1M，∴∠NDM＋∠D1MD＝∠DD1M＋∠D1MD＝90°，即DN⊥D1M，又A1D1⊥平面DC1，∴A1D1⊥DN，∴DN⊥平面A1D1M. A1M⊂平面A1D1M，∴A1M⊥DN.即A1M与DN所成的角为90°.方法二(空间向量法)以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，设正方体边长为2，则D(0,0,0)，N(0,2,1)，M(0,1,0)，A1(2,0,2)，∴DN＝(0,2,1)，MA1＝(2，－1,2)，cos〈DN，MA1〉＝＝0，∴A1M与DN的夹角为90°.10．正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影...
