第1讲函数及其表示一、选择题1．函数f(x)＝＋ln(3x－x2)的定义域是()A．(2，＋∞)B．(3，＋∞)C．(2，3)D．(2，3)∪(3，＋∞)解析：选C.由解得2＜x＜3，则该函数的定义域为(2，3)，故选C.2．已知函数f(x)＝x|x|，x∈R，若f(x0)＝4，则x0的值为()A．－2B．2C．－2或2D.解析：选B.当x≥0时，f(x)＝x2，f(x0)＝4，即x＝4，解得x0＝2.当x＜0时，f(x)＝－x2，f(x0)＝4，即－x＝4，无解．所以x0＝2，故选B.3．(2018·广州综合测试(一))已知函数f(x)＝，则f(f(3))＝()A．B.C．－D．－3解析：选A.因为f(3)＝1－log23＝log2＜0，所以f(f(3))＝f(log2)＝2log2＋1＝2log2＝，故选A.4．已知f＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于()A．－B.C．D．－解析：选B.令t＝x－1，则x＝2t＋2，所以f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1所以f(a)＝4a－1＝6，即a＝.5．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于()A．－3B．－1C．1D．3解析：选A.因为f(1)＝2，所以f(a)＝－f(1)＝－2，当a＞0时，f(a)＝2a＝－2，无解；当a≤0时，f(a)＝a＋1＝－2，所以a＝－3.综上，a＝－3，选A.6．(2018·云南第一次统考)已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a＞0)，对任意的x1∈[－1，2]都存在x0∈[－1，2]，使得g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是()A．B．(0，1]C．D．(0，1)解析：选C.当x0∈[－1，2]时，由f(x)＝x2－2x，得f(x0)∈[－1，3]．又对任意的x1∈[－1，2]都存在x0∈[－1，2]，使得g(x1)＝f(x0)，所以当解得a≤.综上所述，实数a的取值范围是.二、填空题7．函数f(x)，g(x)分别由下表给出．x123f(x)131x123g(x)321则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))＞g(f(x))的x的值为________．解析：因为g(1)＝3，f(3)＝1，所以f(g(1))＝1.当x＝1时，f(g(1))＝f(3)＝1，g(f(1))＝g(1)＝3，不合题意．当x＝2时，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝1，符合题意．当x＝3时，f(g(3))＝f(1)＝1，g(f(3))＝g(1)＝3，不合题意．答案：128．若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(1)＝________．解析：令x＝1，得2f(1)－f(－1)＝4，①令x＝－1，得2f(－1)－f(1)＝－2，②联立①②得f(1)＝2.答案：29．已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为________．解析：易知a≠0.由题意得，当a>0时，则－a<0，故a[f(a)－f(－a)]＝a(a2＋a－3a)>0，化简可得a2－2a>0，解得a>2或a<0.又因为a>0，所以a>2.当a<0时，则－a>0，故a[f(a)－1f(－a)]＝a[－3a－(a2－a)]>0，化简可得a2＋2a>0，解得a>0或a<－2，又因为a<0，所以a<－2.综上可得，实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)10．已知函数f(x)满足对任意的x∈R都有f＋f＝2成立，则f＋f＋…＋f＝________．解析：由f＋f＝2，得f＋f＝2，f＋f＝2，f＋f＝2，又f＝＝×2＝1，所以f＋f＋…＋f＝2×3＋1＝7.答案：7三、解答题11．设函数f(x)＝且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．(1)求f(x)的解析式；(2)画出f(x)的图象．解：(1)由f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)，得解得a＝－1，b＝1，所以f(x)＝(2)f(x)的图象如图：12．已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝－2f(x＋1)，且f(x)在区间[0，1]上有表达式f(x)＝x2.(1)求f(－1)，f(1.5)；(2)写出f(x)在区间[－2，2]上的表达式．解：(1)由题意知f(－1)＝－2f(－1＋1)＝－2f(0)＝0，f(1.5)＝f(1＋0.5)＝－f(0.5)＝－×＝－.(2)当x∈[0，1]时，f(x)＝x2；当x∈(1，2]时，x－1∈(0，1]，f(x)＝－f(x－1)＝－(x－1)2；当x∈[－1，0)时，x＋1∈[0，1)，f(x)＝－2f(x＋1)＝－2(x＋1)2；当x∈[－2，－1)时，x＋1∈[－1，0)，f(x)＝－2f(x＋1)＝－2×[－2(x＋1＋1)2]＝4(x＋2)2.所以f(x)＝.2
