2017届高考数学二轮复习第一部分专题篇专题二三角函数、平面向量第二讲三角恒等变换与解三角形课时作业理1．(2016·贵阳模拟)已知α∈，sinα＝，则tan＝()A．－B．C．D．－解析：因为α∈，所以cosα＝－，所以tanα＝－，所以tan＝＝＝，故选C.答案：C2．(2016·合肥模拟)△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cosA＝，c－a＝2，b＝3，则a＝()A．2B.C．3D.解析：由余弦定理可知，a2＝b2＋c2－2bccosA⇒a2＝9＋(a＋2)2－2×3×(a＋2)×⇒a＝2，故选A.答案：A3．(2016·高考全国Ⅲ卷)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA＝()A．B．C．－D．－解析：利用正、余弦定理或三角恒等变换求解．解法一设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则由题意得S△ABC＝a·a＝acsinB，∴c＝a.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋a2－2×a×a×＝a2，∴b＝a.∴cosA＝＝＝－.故选C.解法二同解法一得c＝a.由正弦定理得sinC＝sinA，又B＝，∴sinC＝sin＝sinA，即cosA＋sinA＝sinA，∴tanA＝－3，∴A为钝角．又∵1＋tan2A＝，∴cos2A＝，∴cosA＝－.故选C.答案：C4．(2016·河南八市联考)已知α∈，tan＝，那么sin2α＋cos2α的值为()A．－B.C．－D.解析：由tan＝，知＝，∴tan2α＝－.∵2α∈，∴sin2α＝，cos2α＝－.∴sin2α＋cos2α＝－，故选A.答案：A5．(2016·高考全国Ⅱ卷)函数f(x)＝cos2x＋6cos的最大值为()A．4B．5C．6D．7解析：利用诱导公式及二倍角的余弦公式，将三角函数最值问题转化为给定区间的二次函数的最值问题求解．∵f(x)＝cos2x＋6cos＝cos2x＋6sinx＝1－2sin2x＋6sinx＝－22＋，又sinx∈[－1,1]，∴当sinx＝1时，f(x)取得最大值5.故选B.答案：B6．(2016·武汉调研)如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为()A．14hB．15hC．16hD．17h解析：记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置，在△OAB中，OA＝600，AB＝20t，∠OAB＝45°，根据余弦定理得6002＋400t2－2×20t×600×≤4502，即4t2－120t＋1575≤0，解得≤t≤，所以Δt＝－＝15(h)，故选B.答案：B7．(2016·高考四川卷)cos2－sin2＝________.解析：逆用二倍角公式化简求值．cos2－sin2＝cos＝.答案：8．(2016·高考浙江卷)已知2cos2x＋sin2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝________，b＝________.解析：借助三角恒等变换求解．∵2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x＝sin＋1＝Asin(ωx＋φ)＋b，∴A＝，b＝1.答案：19．(2016·广西联考)已知△ABC中，三边长分别是a，b，c，面积S＝a2－(b－c)2，b＋c＝8，则S的最大值是________．解析：因为S＝a2－(b－c)2，所以bcsinA＝－(b2＋c2－a2)＋2bc，所以bcsinA＝2bc－2bccosA，又sin2A＋cos2A＝1，所以sinA＝4(1－cosA)，所以sinA＝，所以S＝bcsinA＝bc≤2＝.答案：10．(2016·沈阳模拟)已知函数f(x)＝2cos2＋sinx.(1)求函数f(x)的最大值，并写出取得最大值时相应的x的取值集合；(2)若tan＝，求f(α)的值．解析：(1)f(x)＝1＋cosx＋sinx＝2cos＋1，所以当cos＝1，即x－＝2kπ，x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)的最大值为3，此时相应的x的取值集合为.(2)f(α)＝2cos2＋2sincos＝＝＝.11．(2016·高考天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin2B＝bsinA.(1)求B；(2)若cosA＝，求sinC的值．解析：(1)在△ABC中，由＝，可得asinB＝bsinA.又由asin2B＝bsinA，得2asinBcosB＝bsinA＝asinB，所以cosB＝，所以B＝.(2)由cosA＝，可得sinA＝，则sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin＝sinA＋cosA＝.12．(2016·昆明模似)如图在△ABC中，已知点D在BC边上，满足AD⊥AC，cos∠BAC＝－，AB＝3，BD＝.(1)求AD的长；(2)求△ABC的面积．解析：(1)因为AD⊥AC，cos∠BAC＝－，所以sin∠BAC＝.又sin∠BAC＝sin＝cos∠BAD＝，在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD，即AD2－8AD＋15＝0，解得AD＝5或AD＝3，由于AB>AD，所以AD＝3.(2)在△ABD中，＝，又由cos∠BAD＝得sin∠BAD＝，所以sin∠ADB＝，则sin∠ADC＝sin(π－∠ADB)＝sin∠ADB＝.因为∠ADB＝∠DAC＋∠C＝＋∠C，所以cos∠C＝.在Rt△ADC中，cos∠C＝，则tan∠C＝＝＝，所以AC＝3，则△ABC的面积S＝AB·AC·sin∠BAC＝×3×3×＝6.
