第4讲直线与圆锥曲线的位置关系(一)选题明细表知识点·方法巩固提高A巩固提高B直线与圆锥曲线的位置关系2,4,52,5,7,13弦长问题1,3,78,10,14面积问题12,14,151,9,11,15中点弦问题8,9,103综合问题6,11,134,6,12巩固提高A一、选择题1.直线4kx-4y-k=0与抛物线y2=x交于A,B两点,若|AB|=4,则弦AB的中点到直线x+=0的距离等于(C)(A)(B)2(C)(D)4解析:易知直线4kx-4y-k=0过抛物线y2=x的焦点(,0),所以|AB|为焦点弦.设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB中点N(,),所以|AB|=x1+x2+p=4.所以=.所以AB中点到直线x+=0的距离为+=.2.过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线交于A,B两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线(B)(A)有且只有一条(B)有且只有两条(C)有且只有三条(D)有且只有四条解析:设该抛物线焦点为F,A(xA,yA),B(xB,yB),则|AB|=|AF|+|FB|=xA++xB+=xA+xB+1=3>2p=2.所以符合条件的直线有且只有两条.故选B.3.斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为(C)(A)2(B)(C)(D)解析:设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为y=x+t,由消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0,则x1+x2=-t,x1x2=.所以|AB|=|x1-x2|=·=·=·,当t=0时,|AB|max=.4.直线l与抛物线y2=x交于点A(x1,y1),B(x2,y2),若y1y2=-1,点O为坐标原点,则△AOB是(A)(A)直角三角形(B)钝角三角形(C)锐角三角形(D)任意三角形解析:=x1,=x2,故x1x2=(y1y2)2=1.所以·=x1x2+y1y2=0.所以⊥,即OA⊥OB.所以△AOB是直角三角形.故选A.5.(2018·嵊州模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线截圆M:(x-1)2+y2=1所得弦长为,则该双曲线的离心率为(B)(A)(B)(C)(D)解析:双曲线的一条渐近线为bx-ay=0,圆心到直线的距离为d==,c=2b,a==b,故离心率e=.6.点P为直线y=x上任一点,F1(-5,0),F2(5,0),则下列结论正确的是(C)(A)||PF1|-|PF2||>8(B)||PF1|-|PF2||=8(C)||PF1|-|PF2||<8(D)以上都有可能解析:若||PF1|-|PF2||=8,则点P的轨迹是以F1(-5,0),F2(5,0)为焦点的双曲线,其方程为-=1.因为直线y=x是它的渐近线,整条直线在双曲线的外面,因此有||PF1|-|PF2||<8.7.已知F为抛物线y2=8x的焦点,过点F且斜率为1的直线l交抛物线于A,B两点,则||FA|-|FB||的值为(C)(A)4(B)8(C)8(D)16解析:依题意知F(2,0),所以直线l的方程为y=x-2,联立方程,得消去y得x2-12x+4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=4,x1+x2=12,则||FA|-|FB||=|(x1+2)-(x2+2)|=|x1-x2|===8.二、填空题8.直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A,B两点,且AB中点的横坐标为2,则k的值是.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得k2x2-4(k+2)x+4=0,由题意得所以即k=2.答案:29.过椭圆+=1内一点P(3,1),且被这点平分的弦所在直线的方程是.解析:设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,由于A,B两点均在椭圆上,故+=1,+=1,两式相减得+=0.又因为P是A,B的中点,所以x1+x2=6,y1+y2=2,所以kAB==-.所以直线AB的方程为y-1=-(x-3).即3x+4y-13=0.答案:3x+4y-13=010.已知O为坐标原点,F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,P为C上一点,M是线段PF的中点,则直线OM的斜率的最大值为.解析:根据题意可得F(,0),设P(,y0),M(x,y),因为M是线段PF的中点,则M(+,),所以kOM==≤=1,当且仅当y0=p时取等号,所以直线OM的斜率的最大值为1.答案:111.已知椭圆的方程为+=1,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A点的坐标为(2,1),P为椭圆上一点,则|PA|+|PF2|的最大值是,最小值是.解析:连结PF1,AF1,如图,因为P为椭圆上一点,所以|PF1|+|PF2|=10.因此|PA|+|PF2|=10+|PA|-|PF1|.因为A(2,1),F1(-3,0),所以||PA|-|PF1||≤|AF1|=.所以10-≤|PA|+|PF2|≤10+,即|PA|+|PF2|的最大值和最小值分别为10+和10-.答案:10+10-12.若△OAB的垂心H(1,0)恰好为抛物线y2=2px的焦点,O为坐标原点,点A,B在此抛物线上,则此抛物线的方程是,△AOB的面积是.解析:因为焦点为H(1,0),所以抛物线的方程是y2=4x.设A(a2,2a),B(b2,2b),由抛物线的对称性可知,b=-a.又因为AH⊥OB,得·=-1,解得a=(不妨取正值),从而可得S△OAB=×5×4=10.答案:y2=4x1013.已知A是射线x+y=0(x≤0)上的动点,B是x轴正半轴上的动点,若直线AB与圆x2+y2=1相切,则|AB|的最小值是.解析:法一设A(-a,a),B(b,0)(a,b>0),则直线AB的方程是ax+(a+b)y-ab=0.因为直线AB与圆x2+y2=...
