指数函数典型例题分析指数函数是中学数学中基本初等函数之一，是学习函数、不等式等内容的重要工具，指数函数的性质是指数函数的核心内容,也是学习其他数学知识的基础内容.本文就指数函数的典型例题进行分析.1.利用指数函数的单调性比较大小例1．比较下列各题中两个值的大小：（1）1.72.5，1.73；（2）2.3-0.28，0.67-3.1．分析：构造指数函数，利用其单调性和值域比较大小．解：（1）（单调法）由于1.72.5与1.73的底数是1.7,故构造函数y=1.7x，则函数y=1.7x在R上足增函数．又2.5＜3，所以1.72.5<1.73.(2）（中间量法）由指数函数的性质，知2.3-0.28＜2.30=1，0.67-3.1＞0.670＝1，所以2.3-0.28<0.67-3.1.点评:比较指数式大小的方法：(1).单调法：比较同底数幂大小，构造指数函数，利用指数函数的单调性比较大小．要注意：明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；明确指数函数的底数与1的大小关系；最后根据指数函数图象和性质来判断．(2).中间量法：比较不同底数幕的大小，常借助于中间值1进行比较．利用口诀“同大异小”，判断指数幂和1的大小．2.研究指数函数的性质1)定义域和单调区间例2.求函数的定义域和单调区间.分析：使函数的解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域；函数f(x)是复合函数，分解为y=f(u)，u=g(x),通过讨论y=f(u)和u=g(x)的单调性，来讨论函数f(x)的单调性．解：由题意，得函数f(x)的定义域为R.令, 是二次函数，其对称轴为x=1且开口向上，∴二次函数在(-∞,1]上是减函数，在[1，＋∞）上是增函数．又 在定义域内是减函数，∴函数的单调递增区间是(-∞,1]，单调递减区间是[1，＋∞）.点评:关于指数函数的单调性问题，要注意其单调性与底数a的取值紧密相关．当a>1时，函数y=是增函数；当o
o.则，画出函数(t>0)的图象，如图所示，观察函数f(t)的图象得函数单调递减无最小值．答案：A.点评:求函数f()的单调区间、值城、最值时，常用换元法，设=t,转化为讨论常见函数的性质，有时结合常见函数的图象来解决．3)函数的图象例4.若函数(a>0，且a≠1）的图象恒过定点P，试求点P的坐标．分析：通过讨论函数y=与函数(a>0，且a≠1）的关系确定点P的坐标．解：将函数y=(a>0，且a≠1）的图象沿x轴向右平移1个单位，再沿y轴向上平移3个单位，可以得到函数的图象，因为函数y=(a>0，且a≠1）的图象恒过定点(0，1），所以相应的函数的图象恒过定点(1，4）．点评:一般较复杂函数的图象可由基本初等函数的图象经过平移、对称变换得到，注意转化思想的应用．3.利用指数函数的单调性求参数的取值范围例5．如果（其中a>0，a≠1)，求x的取值范围．分析:由指数函数的单调性进行解答，解答时要注意分a>1和0x+7，即x2-6x-7>0.解之得x<-1，或x>7.(2)当01时,x＜-1或x>7；当0＜a＜1时，-11和01和0
