课时作业(一)空间向量及其运算一、选择题1．给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有AC＝A1C1；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.其中正确的个数为()A．4B．3C．2D．12.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量AC1的共有()①(AB＋BC)＋CC1；②(AA1＋A1D1)＋D1C1；③(AB＋BB1)＋B1C1；④(AA1＋A1B1)＋B1C1.A．1个B．2个C．3个D．4个3．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°4．已知a，b是异面直线，且a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为()A．－6B．6C．3D．－3二、填空题5．化简AB－AC＋BC－BD－DA＝________.6．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为，则|a＋b|＝________.7.如图所示，四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F分别为棱AB，AD的中点，则|AB＋BC|＝________，|BC－EF|＝________.三、解答题8．已知长方体ABCD－A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量：(1)AB′＋B′C′＋C′D′；(2)AD＋AB－A′A.9．已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC.1[尖子生题库]10.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝AD＝1，求PB与CD所成的角．课时作业(一)空间向量及其运算1．解析：当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，不一定起点相同，终点也相同，故①错；根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同，故②错；根据正方体的性质，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量AC与向量A1C1的方向相同，模也相等，所以AC＝A1C1，故③正确；命题④显然正确．答案：C2．解析：根据空间向量的加法法则以及正方体的性质逐一进行判断：①(AB＋BC)＋CC1＝AC＋CC1＝AC1.②(AA1＋A1D1)＋D1C1＝AD1＋D1C1＝AC1.③(AB＋BB1)＋B1C1＝AB1＋B1C1＝AC1.④(AA1＋A1B1)＋B1C1＝AB1＋B1C1＝AC1.所以，所给4个式子的运算结果都是AC1.答案：D3．解析：∵(2a＋b)·b＝0，∴2a·b＋b2＝0，即2|a||b|cos〈a，b〉＋|b|2＝0，而|a|＝|b|，∴2cos〈a，b〉＋1＝0，∴cos〈a，b〉＝－.又〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝120°，选C.2答案：C4．解析：由a⊥b，得a·b＝0，∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，∵e1·e2＝0，∴2k－12＝0，∴k＝6.答案：B5．解析：AB－AC＋BC－BD－DA＝AB＋BC＋CA＋AD＋DB＝AC＋CA＋AD＋DB＝AB.答案：AB6．解析：|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×1×2×cos＋22＝7，∴|a＋b|＝.答案：7．解析：|AB＋BC|＝|AC|＝2；EF＝BD，BD·BC＝2×2×cos60°＝2，故|BC－EF|2＝2＝BC2－BC·BD＋BD2＝4－2＋×4＝3，故|BC－EF|＝.答案：28．解析：(1)AB′＋B′C′＋C′D′＝AD′.(2)AD＋AB－A′A＝AD＋AB＋AA′＝(AD＋AB＋AA′)＝AC′.设M是线段AC′的中点，则AC′＝AM，向量AD′，AC′如图所示．9．证明：∵AB⊥CD，AC⊥BD，∴AB·CD＝0，AC·BD＝0.∴AD·BC＝(AB＋BD)·(AC－AB)＝AB·AC＋BD·AC－|AB|2－AB·BD＝AB·AC－|AB|2－AB·BD＝AB·(AC－AB－BD)＝AB·DC＝0.∴AD⊥BC，从而AD⊥BC.10．解析：由题意知|PB|＝，|CD|＝，PB＝PA＋AB，DC＝DA＋AB＋BC，∵PA⊥平面ABCD，∴PA·DA＝PA·AB＝PA·BC＝0，∵AB⊥AD，∴AB·DA＝0，∵AB⊥BC，∴AB·BC＝0，∴PB·DC＝(PA＋AB)·(DA＋AB＋BC)＝AB2＝|AB|2＝1，又∵|PB|＝，|CD|＝，∴cos〈PB，DC〉＝＝＝，∴〈PB，DC〉＝60°，∴PB与CD所成的角为60°.3
