考点集训(五十六)第56讲直线与圆锥曲线的位置关系1．若a≠b且ab≠0，则直线ax－y＋b＝0和二次曲线bx2＋ay2＝ab的位置关系可能是2．直线y＝x＋b(b≠0)与双曲线－＝1的交点个数是A．0个B．1个C．2个D．与b的取值有关3．直线y＝k(x－2)交抛物线y2＝8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为3，则弦AB的长为A．6B．10C．2D．164．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝A.B．6C．12D．75．过抛物线y2＝3x上一定点M(x0，y0)(y0>0)，作两条直线MA、MB分别交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线MA与MB的斜率存在且倾斜角互补时，的值是A.B.C．－3D．－6．过点P(8，1)的直线与双曲线x2－4y2＝4相交于A，B两点，且P是线段AB的中点，则直线AB的方程是__2x－y－15＝0__．7．已知直线l与椭圆x2＋2y2＝2交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线OP(O为坐标原点)的斜率为k2，则k1k2的值等于____________．8．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．9．如图，过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F的直线交C于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，且x1x2＝－4.(1)求p的值；(2)R，Q是C上的两动点，R，Q的纵坐标之和为1，RQ的垂直平分线交y轴于点T，求△MNT的面积的最小值．第56讲直线与圆锥曲线的位置关系【考点集训】1．C2.B3.B4.C5.D6.2x－y－15＝07.－8．【解析】(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1.因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.(2)设|F1B|＝k，则k＞0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.由椭圆定义可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B，即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)，化简可得(a＋k)(a－3k)＝0.而a＋k＞0，故a＝3k.于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，故△AF1F2为等腰直角三角形．从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝.9．【解析】(1)设MN：y＝kx＋，由消去y，得x2－2pkx－p2＝0.(*)由题设，x1，x2是方程(*)的两实根，所以x1x2＝－p2＝－4，故p＝2.(2)设R(x3，y3)，Q(x4，y4)，T(0，t)，因为T在RQ的垂直平分线上，所以|TR|＝|TQ|.得x＋(y3－t)2＝x＋(y4－t)2，又x＝4y3，x＝4y4，所以4y3＋(y3－t)2＝4y4＋(y4－t)2.即4(y3－y4)＝(y3＋y4－2t)(y4－y3)．而y3≠y4，所以－4＝y3＋y4－2t.又因为y3＋y4＝1，所以t＝.故T.因此S△MNT＝·|FT|·|x1－x2|＝|x1－x2|.由(1)得x1＋x2＝4k，x1·x2＝－4.S△MNT＝·＝＝3≥3.因此，当k＝0时，S△MNT有最小值3.
