第3讲圆锥曲线的综合问题(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号圆与圆锥曲线综合问题1定点、定值问题2,3探索性问题4取值范围问题51.(2018·广西柳州市一模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,F1,F2为椭圆的左右焦点,P为椭圆短轴的端点,△PF1F2的面积为2.(1)求椭圆C的方程;(2)设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.解:(1)由题意,解得a=2,b=c=,所以椭圆C的方程为+=1.(2)直线AB与圆x2+y2=2相切.证明如下:设点A,B的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中x0≠0.因为OA⊥OB,所以·=0,即tx0+2y0=0,解得t=-.当x0=t时,y0=-,代入椭圆C的方程,得t=±,故直线AB的方程为x=±.圆心O到直线AB的距离d=.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.当x0≠t时,直线AB的方程为y-2=(x-t).即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0.d=,又+2=4,t=-,故d===.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.综上,AB与圆x2+y2=2相切.2.(2018·湖北省八市联考)如图,已知抛物线x2=2py(p>0),其焦点到准线的距离为2,圆S:x2+y2-py=0,直线l:y=kx+与圆和抛物线自左至右顺次交于四点A,B,C,D.(1)若线段AB,BC,CD的长按此顺序构成一个等差数列,求正数k的值;(2)若直线l1过抛物线的焦点且垂直于直线l,l1与抛物线交于M,N两点,设MN,AD的中点分别为P,Q.求证:直线PQ过定点.(1)解:由题意可得p=2,所以S(0,1),圆S的半径为1.设A(x1,y1),D(x2,y2),由得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,所以y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2,所以|AB|+|CD|=|AS|+|DS|-|BC|=y1+1+y2+1-2=y1+y2=4k2+2,又|AB|+|CD|=2|BC|,即4k2+2=4.又k>0,所以k=.(2)证明:由(1)知x1+x2=4k,y1+y2=4k2+2,所以Q(2k,2k2+1).当k=0时,直线l1与抛物线没有两个交点,所以k≠0,用-替换k可得P(-,+1),所以kPQ=,所以直线PQ的方程为y-(2k2+1)=(x-2k),化简得y=x+3,所以直线PQ过定点(0,3).3.(2018·广东省海珠区一模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2,且过点A(2,1).(1)求椭圆C的方程;(2)若不经过点A的直线l:y=kx+m与C交于P,Q两点,且直线AP与直线AQ的斜率之和为0,证明:直线PQ的斜率为定值.(1)解:因为椭圆C的焦距为2,且过点A(2,1),所以+=1,2c=2.因为a2=b2+c2,解得a2=8,b2=2,所以椭圆C的方程为+=1.(2)证明:设点P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1=kx1+m,y2=kx2+m,由消去y得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-8=0,(*)则x1+x2=-,x1x2=,因为kPA+kAQ=0,即=-,化简得x1y2+x2y1-(x1+x2)-2(y1+y2)+4=0.即2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4m+4=0.代入得--4m+4=0,整理得(2k-1)(m+2k-1)=0,所以k=或m=1-2k.若m=1-2k,可得方程(*)的一个根为2,不合题意,所以直线PQ的斜率为定值,该值为.4.(2018·山西八校联考)已知圆C:x2+y2-2x=0,圆P在y轴的右侧且与y轴相切,与圆C外切.(1)求圆心P的轨迹Γ的方程;(2)过点M(2,0),且斜率为k(k≠0)的直线l与Γ交于A,B两点,点N与点M关于y轴对称,记直线AN,BN的斜率分别为k1,k2,是否存在常数m,使得+-为定值?若存在,求出该常数m与定值;若不存在,请说明理由.解:(1)圆C的方程可化为(x-1)2+y2=1,则圆心C(1,0),半径r=1.设圆心P的坐标为(x,y)(x>0),圆P的半径为R,由题意可得所以|PC|=x+1,即=x+1,整理得y2=4x.所以圆心P的轨迹Γ的方程为y2=4x(x>0).(2)由已知,直线l的方程为y=k(x-2),不妨设t=,则直线l的方程为y=(x-2),即x=ty+2.联立,得消去x,得y2-4ty-8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则因为点M(2,0)与点N关于y轴对称,所以N(-2,0),故k1=,所以===t+,同理,得=t+,所以+-=(t+)2+(t+)2-=2t2+8t×(+)+16×(+)-mt2=2t2+8t×+16×-mt2=2t2+8t×+16×-mt2=2t2+4-mt2=(2-m)t2+4,要使该式为定值,则需2-m=0,即m=2,此时定值为4.所以存在常数m=2,使得+-为定值,且定值为4.5.(2018·南昌市一模)已知椭圆+=1(a>b>0),连接椭圆的两个焦点和短轴的两个端点得到的四边形为正方形,正方形的边长为.(1)求椭圆的方程;(2)设C(m,0),过焦点F(c,0)(c>0)且斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆交于A,B两点,使得(+)⊥,求实数m的取值范围.解:(1)由椭圆的定义及题意得a=,b=c=1,所以椭圆的方程为+y2=1.(2)由(1)得F(1,0),直线l的方程为y=k(x-1),代入+y2=1,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),则x1+x2=,所以y1+y2=k(x1+x2-2)=,x0=,y0=.因为+=2,所以⊥,所以kCM×k=×k=-1,所以-m+×k=0,m==∈(0,),所以实数m的取值范围是(0,).
