第1课时正、余弦函数的周期性与奇偶性[A基础达标]1．函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)的最小正周期为，则ω等于()A．5B．10C．15D．20解析：选B.由题意，知T＝＝，所以ω＝10.2．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是()A．y＝cos|2x|B．y＝|sinx|C．y＝sinD．y＝cos解析：选D.y＝cos|2x|是偶函数；y＝|sinx|是偶函数；y＝sin＝cos2x是偶函数；y＝cos＝－sin2x是奇函数，且其最小正周期T＝π.3．函数f(x)＝xsin()A．是奇函数B．是非奇非偶函数C．是偶函数D．既是奇函数又是偶函数解析：选A.由题意，得函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．又f(x)＝xsin＝xcosx，所以f(－x)＝(－x)cos(－x)＝－xcosx＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．4．函数：①y＝x2sinx；②y＝sinx，x∈[0，2π]；③y＝sinx，x∈[－π，π]；④y＝xcosx中，奇函数的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选C.①③④是奇函数．故选C.5．函数f(x)＝sin(2x＋φ)为R上的奇函数，则φ的值可以是()A.B.C．πD.解析：选C.要使函数f(x)＝sin(2x＋φ)为R上的奇函数，需φ＝kπ，k∈Z.故选C.6．函数y＝3sin的最小正周期为________．解析：T＝＝π.答案：π7．已知f(n)＝sin(n∈Z)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝________.解析：f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0，f(9)＋f(10)＋…＋f(16)＝0，依此循环，f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝0＋f(97)＋f(98)＋f(99)＋f(100)＝＋1.答案：＋18．若0<α<，g(x)＝sin(2x＋＋α)是偶函数，则α的值为________．解析：要使g(x)＝sin(2x＋＋α)为偶函数，则须＋α＝kπ＋，k∈Z.所以α＝kπ＋，k∈Z.因为0<α<，所以α＝.答案：9．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝coscos(π＋x)；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝＋.解：(1)因为x∈R，f(x)＝coscos(π＋x)＝－sin2x(－cosx)＝sin2xcosx，所以f(－x)＝sin(－2x)cos(－x)＝－sin2xcosx＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)函数应满足1－sinx≠0，所以函数的定义域为，显然定义域不关于原点对称，所以f(x)＝为非奇非偶函数．(3)由得cosx＝1，所以函数的定义域为{x|x＝2kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称．当cosx＝1时，f(－x)＝0，f(x)＝±f(－x)．所以f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数．10．已知函数y＝sinx＋|sinx|，(1)画出函数的简图；(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．解：(1)y＝sinx＋|sinx|＝图象如图所示：(2)由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π.[B能力提升]11．设函数f(x)＝sin，x∈R，则f(x)是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数解析：选B.f(x)＝sin＝－sin＝－cos2x，因此f(x)是偶函数，且是最小正周期为＝π的周期函数，故选B.12．已知f(x)＝，若f(5)＝－2，则f(－5)＝________．解析：f(x)＝，则f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．所以f(－5)＝－f(5)＝2.答案：213．已知f(x)是R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)．(1)求证：f(x)是以4为周期的函数；(2)当0≤x≤1时，f(x)＝x，求f(7.5)的值．解：(1)证明：f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数．(2)由(1)可知f(x＋4)＝f(x)，所以f(7.5)＝f(3.5＋4)＝f(3.5)＝f(－0.5＋4)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.[C拓展探究]14．判断函数y＝cos(2x－)，x∈[－π，π]是否是周期函数．若不是，请说明理由，并指出在什么条件下该函数是周期函数．解：因为x＝π时，x＋T∉[－π，π]，不符合周期函数的定义，所以y＝cos(2x－)，x∈[－π，π]不是周期函数．要使函数为周期函数，需将条件x∈[－π，π]改为x∈R.因为当x∈R时，则有：y＝cos(2x－＋2π)＝cos[2(x＋π)－]＝cos(2x－)，所以y＝cos(2x－)是以π为周期的周期函数．
