空间向量的直角坐标运算的运用空间向量的直角坐标运算是空间向量的重要内容，也是用向量法解决立体几何问题的基础．下面举例说明空间向量的直角坐标运算在解答有关空间向量问题中的作用．一、求向量例1已知空间三点，若，且分别与都垂直，得解得或或．点评：准确掌握和应用向量的坐标求法，向量长度的坐标计算公式及向量垂直的充要条件的坐标表示是解题的关键．二、求解向量的平行问题例2已知四边形的顶点分别为．试证明：它是一个梯形．证明：由已知，得，，，且，．又，与不平行．故四边形为梯形．点评：用向量证明四边形为梯形必须证明一组对边平行且另一组对边不平行．本题若仅证明且，并不能说明为梯形，因为可能会出现四点共线的情况．三、求解向量的垂直问题例3试证以为顶点的为直角三角形．证明：由已知得，．，即为直角三角形．用心爱心专心1四、求解向量的夹角和长度例4如图1，直三棱柱中，，，棱分别是的中点．（1）求的长；（2）求的值．解：如图1，建立空间直角坐标系．（1）依题意，得，．（2）依题意，得，．．．点评：本题主要考查了空间向量的概念及坐标运算的基本知识，考查了空间两向量的夹角、长度的计算公式．解题的关键是恰当地建立空间直角坐标系和准确地表示点的坐标．五、求解综合问题例4如图2，长方体中，，且，求长方体的体积．解：如图2，建立空间直角坐标系，则．设，则．，，．．，．因此，长方体的体积为．点评：本题以向量的工具，利用空间向量的坐标表示、数量的计算、向量长度的计算等知识解决问题．用心爱心专心2
