限时集训（十六）圆锥曲线中的最值、范围、证明问题基础过关1.已知椭圆M与椭圆N:x29+y25=1有相同的焦点,且椭圆M过点(0,2).(1)求椭圆M的长轴长;(2)设直线y=x+2与椭圆M交于A,B两点(A在B的右侧),O为原点,求证:⃗OA·⃗OB=-43.2.已知点M(1,2)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,过点N(5,-2)作不与坐标轴垂直的直线l交抛物线C于A,B两点.(1)若MN⊥AB,求直线l的方程;(2)求证:点M在以AB为直径的圆上.3.已知椭圆C:x24+y23=1的左焦点为F,点M(-4,0),过M作斜率不为零的直线l,与椭圆C交于A,B两点,点B关于x轴的对称点为B'.(1)求证:动直线AB'恒过定点F(椭圆的左焦点);(2)△MAB'的面积记为S,求S的取值范围.4.已知抛物线E:x2=4y的焦点为F,P(a,0)为x轴上的点.(1)过点P作直线l与E相切,求切线l的方程;(2)如果存在过点F的直线l'与抛物线交于A,B两点,且直线PA与PB的倾斜角互补,求实数a的取值范围.能力提升5.在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1:x2=4y,直线l与抛物线C1交于A,B两点.(1)若直线OA,OB的斜率之积为-14,证明:直线l过定点;(2)若线段AB的中点M在曲线C2:y=4-14x2(-2❑√2b>0)的左、右焦点,F2恰好与抛物线y2=4x的焦点重合,过椭圆E的左焦点F1且与x轴垂直的直线被椭圆E截得的线段长为3.(1)求椭圆E的方程;(2)已知点P(1,32),直线l:x=4,过F2且斜率为k的直线与椭圆E交于A,B两点,与直线l交于M点,若直线PA,PB,PM的斜率分别是k1,k2,k3,求证:无论k取何值,总满足k3是k1和k2的等差中项.限时集训(十六)基础过关1.解:(1)由题意,设椭圆M的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),则c2=9-5=4,又由椭圆M过点(0,2),得b=2,所以a=2❑√2,所以椭圆M的长轴长为4❑√2.(2)证明:椭圆M的方程为x28+y24=1,由{y=x+2,x28+y24=1,得3x2+8x=0,解得x1=0,x2=-83,则A(0,2),B(-83,-23),所以⃗OA·⃗OB=(0,2)·(-83,-23)=-43,故得证.2.解:(1)由题意得kMN=-1,若MN⊥AB,则kAB=1,所以直线l的方程为y-(-2)=1·(x-5),即x-y-7=0.(2)证明:由点M在抛物线上,得抛物线的方程为y2=4x.设点A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为x=m(y+2)+5(m≠0).将直线方程与抛物线方程联立,整理得y2-4my-(8m+20)=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-8m-20.又⃗MA=(x1-1,y1-2),⃗MB=(x2-1,y2-2),所以⃗MA·⃗MB=(x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2)=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2-2(y1+y2)+4=(y1y2)216-m(y1+y2)-4m-10+1+y1y2-2(y1+y2)+4=(8m+20)216-m·4m-4m-10+1-(8m+20)-2×4m+4=0,所以⃗MA⊥⃗MB.所以点M在以AB为直径的圆上.3.解:(1)证明:易知F(-1,0).设直线l的方程为x=my-4,与x24+y23=1联立,得(3m2+4)y2-24my+36=0,由Δ>0,得|m|>2,设A(x1,y1),B(x2,y2),B'(x2,-y2),则{y1+y2=24m3m2+4,y1y2=363m2+4.直线AB'的方程为y-y1=y1+y2x1-x2(x-x1),令y=0,得x=x2y1+x1y2y1+y2=2m·y1y2y1+y2-4=2m·32m-4=-1,∴动直线AB'恒过定点F(-1,0).(2)S=12|MF||y1+y2|=32×|24m3m2+4|=363∨m|+4|m|,|m|>2.令f(t)=3t+4t,t>2,则f'(t)=3-4t2>0在(2,+∞)上恒成立,∴f(t)在(2,+∞)上单调递增,∴f(t)∈(8,+∞),∴S∈(0,92),即S的取值范围为(0,92).4.解:(1)易知切线l的斜率存在,设切点为Qx0,x024,由x2=4y得y'x=x0=x02,∴切线l的方程为y-x024=x02(x-x0). 切线l过点P,∴-x024=x02(a-x0),解得x0=2a或x0=0.当a=0时,切线l的方程为y=0;当a≠0时,切线l的方程为y=0或ax-y-a2=0.(2)由题,直线l'的斜率存在,设直线l'的方程为y=kx+1,代入x2=4y得x2-4kx-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4.由已知得kPA+kPB=y2x2-a+y1x1-a=0,即kx2+1x2-a+kx1+1x1-a=0,∴2kx1x2+(1-ka)(x1+x2)-2a=0,整理得2ak2+2k+a=0.当a=0时,上式有解,符合题意;当a≠0时,由Δ=4-8a2≥0,得-❑√22≤a≤❑√22且a≠0.综上,a的取值范围为-❑√22≤a≤❑√22.能力提升5.解:(1)证明:由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+m,由{x2=4y,y=kx+m,得x2-4kx-4m=0,Δ=16(k2+m)>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4m. kOA·kOB=y1·y2x1·x2=14x12·14x22x1·x2=x1·x216=-m4=-14,∴m=1,∴直线l的方程为y=kx+1,∴直线l过定点(0,1).(2)设M(x0,y0),则x0=x1+x22=2k,y0=kx0+m=2k2+m,将(x0,y0)代入y=4-14x2,得2k2+m=4-14·(2k...
