考点规范练57不等式选讲一、基础巩固1.已知函数f(x)=|x-1|+|x-a|.(1)若a=-1,解不等式f(x)≥3;(2)若∃x∈R,使得f(x)<2成立,求实数a的取值范围.解(1)若a=-1,f(x)≥3,即为|x-1|+|x+1|≥3,当x≤-1时,1-x-x-1≥3,即有x≤-32;当-1
f(x)min,由函数f(x)=|x-1|+|x-a|≥|x-1-x+a|=|a-1|,当(x-1)(x-a)≤0时,取得最小值|a-1|,则|a-1|<2,即-21的解集;(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.解(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)={-2,x≤-1,2x,-11的解集为{x|x>12}.(2)当x∈(0,1)时,|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;若a>0,则|ax-1|<1的解集为{x|00.则不等式f(x)≤-6等价于{x<-1,x-1≤-6或{-1≤x≤0,3x+1≤-6或{x>0,1-x≤-6,解得x≤-5或x≥7.故不等式f(x)≤-6的解集为{x|x≤-5或x≥7}.(2)作出函数f(x)的图象,如图.若f(x)的图象与直线y=a围成的图形是三角形,则当a=-2时,△ABC的面积为12×4×3=6.∵f(x)的图象与直线y=a围成的图形的面积不小于14,∴该图形一定是四边形,即a<-2.∵△ABC的面积是6,∴梯形ABED的面积不小于8.∵AB=4,D(1+a,a),E(1-a,a),DE=-2a,∴12×(4-2a)×(-2-a)≥14-6=8,即a2≥12.又a<-2,∴a≤-2❑√3.故实数a的取值范围是(-∞,-2❑√3].7.已知函数f(x)=|x+2|-2|x-1|.(1)解不等式f(x)≥-2;(2)对任意x∈[a,+∞),都有f(x)≤x-a成立,求实数a的取值范围.解(1)f(x)=|x+2|-2|x-1|≥-2.当x≤-2时,x-4≥-2,即x≥2,故x∈;⌀当-25;(2)若f(x)≤a|x+3|,求a的最小值.解(1)当a=-2时,f(x)={1-3x,x<-1,3-x,-1≤x≤1,3x-1,x>1.由f(x)的单调性及f(-43)=f(2)=5,得f(x)>5的解集为{x|x<-43,或x>2}.(2)由f(x)≤a|x+3|得a≥|x+1||x-1|+|x+3|.由|x-1|+|x+3|≥2|x+1|得|x+1||x-1|+|x+3|≤12,即a≥12(当且仅当x≥1或x≤-3时等号成立).故a的最小值为12.
