江苏省高邮市界首中学高三数学复习25分钟小练习（12月21日）1、已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是。[e,4]2、设集合A，B，则A⊆B是A∩B＝A成立的。充要条件3、已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为8.则该椭圆的方程是________．解析：∵2c＝8，∴c＝4，∴e＝＝＝，故a＝8.又∵b2＝a2－c2＝48，∴椭圆的方程为＋＝1.答案：＋＝14、设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于。245、双曲线－y2＝1(a＞0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________________．解析：由题意知＝＝2，解得a＝，故该双曲线的渐近线方程是x±y＝0，即y＝±x.答案：y＝±x6、已知直线l：y＝x＋，圆O：x2＋y2＝5，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．(1)求椭圆E的方程；(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值．解：(1)设椭圆的半焦距为c，圆心O到直线l的距离d＝＝，∴b＝＝.由题意知∴a2＝3，b2＝2.∴椭圆E的方程为＋＝1.(2)证明：设点P(x0，y0)，过点P的椭圆E的切线l0的方程为y－y0＝k(x－x0)，联立直线l0与椭圆E的方程得消去y得(3＋2k2)x2＋4k(y0－kx0)x＋2(kx0－y0)2－6＝0，∴Δ＝[4k(y0－kx0)]2－4(3＋2k2)[2(kx0－y0)2－6]＝0，整理得(2－x)k2＋2kx0y0－(y－3)＝0.设满足题意的椭圆E的两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－，∵点P在圆O上，∴x＋y＝5，∴k1·k2＝－＝－1.故两条切线的斜率之积为常数－1.
