§14.4不等式选讲INCLUDEPICTURE"F:\\2015\\一轮\\数学\\苏教\\大一轮苏教版\\基础知识自主学习.tif"\*MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE"\\\\李笑影\\李笑影(f)\\2015\\一轮\\数学\\苏教\\理\\word\\大一轮苏教版\\基础知识自主学习.tif"\*MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE"F:\\2015\\一轮\\数学\\苏教\\大一轮苏教版\\知识梳理.tif"\*MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE"\\\\李笑影\\李笑影(f)\\2015\\一轮\\数学\\苏教\\理\\word\\大一轮苏教版\\知识梳理.tif"\*MERGEFORMATINET1．两个实数大小关系的基本事实a>b⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；a
b，那么bb.即a>b⇔bb，b>c，那么a>c.(3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么acb>0，那么an>bn(n∈N，n>1)．(6)开方：如果a>b>0，那么>(n∈N，n>1)．3．绝对值三角不等式(1)性质1：|a＋b|≤|a|＋|b|.(2)性质2：|a|－|b|≤|a＋b|.性质3：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.4．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|a{x|x>a或x<－a}{x|x∈R且x≠0}R(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．5．基本不等式(1)定理：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．1(2)定理(基本不等式)：如果a，b>0，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立．也可以表述为：两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．(3)利用基本不等式求最值对两个正实数x，y，①如果它们的和S是定值，则当且仅当x＝y时，它们的积P取得最大值；②如果它们的积P是定值，则当且仅当x＝y时，它们的和S取得最小值．6．三个正数的算术—几何平均不等式(1)定理如果a，b，c均为正数，那么≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．(2)基本不等式的推广对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．7．柯西不等式(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．(2)设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．8．证明不等式的方法(1)比较法①求差比较法知道a>b⇔a－b>0，ab，只要证明a－b>0即可，这种方法称为求差比较法．②求商比较法由a>b>0⇔>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时要证明a>b，只要证明>1即可，这种方法称为求商比较法．(2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．(3)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法．(4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式相反的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立．(5)放缩法所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立．(6)数学归纳法设{Pn}是一个与自然数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题P1(或P0)成立；(2)在假设Pk...
