高考数学一轮总复习 第5章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第2节 平面向量的数量积及其应用高考AB卷 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

【大高考】2017版高考数学一轮总复习第5章平面向量、数系的扩充与复数的引入第2节平面向量的数量积及其应用高考AB卷理向量的数量积1.(2016·全国Ⅱ，3)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝()A.－8B.－6C.6D.8解析由题知a＋b＝(4，m－2)，因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，即4×3＋(－2)×(m－2)＝0，解之得m＝8，故选D.答案D2.(2014·全国Ⅱ，3)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝()A.1B.2C.3D.5解析由向量的数量积运算可知， |a＋b|＝，∴(a＋b)2＝10，∴a2＋b2＋2a·b＝10，①同理a2＋b2－2a·b＝6，②①－②得4a·b＝4，∴a·b＝1.答案A3.(2014·大纲全国，4)若向量a、b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝()A.2B.C.1D.解析由题意得⇒－2a2＋b2＝0，即－2|a|2＋|b|2＝0，又|a|＝1，∴|b|＝.故选B.答案B平面向量的长度与角度问题4.(2016·全国Ⅲ，3)已知向量BA＝，BC＝，则∠ABC＝()A.30°B.45°C.60°D.120°解析|BA|＝1，|BC|＝1，cos∠ABC＝＝.答案A5.(2013·全国Ⅰ，13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.解析 b·c＝0，∴b·[ta＋(1－t)b]＝0，ta·b＋(1－t)·b2＝0，又 |a|＝|b|＝1，a，b＝60°，∴t＋1－t＝0，t＝2.答案26.(2012·全国，13)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.解析|2a－b|＝⇔(2a－b)2＝10⇔4＋|b|2－4|b|cos45°＝10⇔|b|＝3或|b|＝－(舍去).答案3向量的数量积1.(2016·山东，8)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为()A.4B.－4C.D.－解析 n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即t·m·n＋n2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，由已知得t×|n|2×＋|n|2＝0，解得t＝－4，故选B.答案B2.(2015·山东，4)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD·CD＝()A.－a2B.－a2C.a2D.a2解析如图所示，由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°＝a2＋a2－2a·a×＝3a2，∴BD＝a.∴BD·CD＝|BD|·|CD|cos30°＝a2×＝a2.答案D3.(2015·安徽，8)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论正确的是()A.|b|＝1B.a⊥bC.a·b＝1D.(4a＋b)⊥BC解析由于△ABC是边长为2的等边三角形；∴(AB＋AC)·(AB－AC)＝0，即(AB＋AC)·CB＝0，∴(4a＋b)⊥CB，即(4a＋b)⊥BC，故选D.答案D4.(2015·四川，7)设四边形ABCD为平行四边形，|AB|＝6，|AD|＝4，若点M，N满足BM＝3MC，DN＝2NC，则AM·NM＝()A.20B.15C.9D.6解析AM＝AB＋AD，NM＝CM－CN＝－AD＋AB∴AM·NM＝(4AB＋3AD)·(4AB－3AD)＝(16AB2－9AD2)＝(16×62－9×42)＝9，选C.答案C5.(2015·福建，9)已知AB⊥AC，|AB|＝，|AC|＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且AP＝＋，则PB·PC的最大值等于()A.13B.15C.19D.21解析建立如图所示坐标系，则B，C(0，t)，AB＝，AC＝(0，t)，AP＝＋＝t＋(0，t)＝(1，4)，∴P(1，4)，PB·PC＝·(－1，t－4)＝17－≤17－2＝13，当且仅当4t＝，即t＝时(负值舍去)等号成立.故选A.答案A6.(2014·北京，10)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2，1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.解析 |a|＝1，∴可令a＝(cosθ，sinθ)， λa＋b＝0，∴即由sin2θ＋cos2θ＝1得λ2＝5，得|λ|＝.答案7.(2013·山东，15)已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2，若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为________.解析 AP＝λAB＋AC，AP⊥BC，又BC＝AC－AB，∴(AC－AB)·(AC＋λAB)＝0.∴AC2＋λAB·AC－AB·AC－λAB2＝0，即4＋(λ－1)×3×2×－9λ＝0，即7－12λ＝0，∴λ＝.答案8.(2012·北京，13)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为________；DE·DC的最大值为________.解析如图建立直角坐标系，则D(0，0)，A(0，1)，B(1，1)，C(1，0).设E(x，1)，那么DE＝(x，1)，CB＝(0，1)，∴DE·CB＝1. DC＝(1，0)，∴DE·DC＝x. 正方形的边长为1，∴x的最大值为1，故DE·DC的最大值为1.答案11平面向量的长度与角度问题9.(2015·重庆，6)若非零向量a，b满足|a|...