高中数学一个不等式链的应用知识精讲VIP免费

高中数学一个不等式链的应用人教版高中数学第二册（上）习题6.2第3题：已知a，b为正数，求证：2112222abababab，当且仅当a＝b时等号成立。此不等式链含有6个不等式：211abab①abab2②abab2222③2112abab④211222abab⑤abab222⑥这些不等式就是同学们熟悉的均值不等式及其变化，但在解题中常常被忽视，若能灵活运用，则会给解题带来很多方便，现举例说明。例1.某商品计划提价两次，有甲、乙、丙三种方案：甲方案第一次提价p%，第二次提价q%；乙方案第一次提价q%，第二次提价p%；丙方案第一次提价pq2%，第二次再提价pq2%，其中pq0。则经过两次提价后，哪种方案的提价幅度最大？为什么？解：设该商品原价为a，两次提价后的价格按甲、乙、丙三种方案的次序依次为yyy123，，，则：yapq111(%)(%)yaqp211(%)(%)yapq3212(%)∵pq0，由不等式②得：(%)(%)[(%)(%)](%)111121222pqpqpq∴yyy123故丙方案提价的幅度最大。例2.已知a，b，c均为正数，求证：abbccaabc2222222()。证明：由不等式③，得：ababbcbc22222222()()，，acca2222()。上述不等式相加得，abbccaabc2222222()。用心爱心专心例3.甲、乙两同学同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步。如果两人步行速度、跑步速度均相同，则（）A.甲先到教室B.乙先到教室C.两人同时到教室D.不确定解：设从寝室到教室的路程是s，甲（乙）跑步和步行的速度分别为a，b，甲、乙两人所用时间分别为tt12，，则：sasbttatbs2222122，，tsabtsab122112，由不等式④，得2112abab（a≠b），所以tt12，故选B。例4.（人教版高中数学第二册（上）习题6.2第7题1）求证：在直径为d的圆内接矩形中，面积最大的是正方形，这个正方形的面积等于d22。证明：设矩形的长为x，宽为y，面积为S，则xydSxy222，由不等式⑥，得Sxyxyd22222。当且仅当xy时等号成立，故Sdmax22。［练一练］设abcR，，*，求证：abbccaabc2222222()。证明过程提示：因为abR，*，且abab2222()，所以abab222同理bcbccaca222222，三式相加，得：abbccaabc22222212222()2()abc用心爱心专心