填空题“瓶颈”突破练1．(2019·北京卷)若x，y满足则y－x的最小值为________，最大值为________．解析：x，y满足的平面区域如图阴影部分所示．设z＝y－x，则y＝x＋z.把z看作常数，则目标函数是可平行移动的直线，z的几何意义是直线y＝x＋z的纵截距，通过图象可知，当直线y＝x＋z经过点A(2，3)时，z取得最大值，此时zmax＝3－2＝1.当经过点B(2，－1)时，z取得最小值，此时zmin＝－1－2＝－3.答案：－312．若函数f(x)是R上的奇函数，且f＋f(x)＝0，又f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)＋f(4)＋f(5)＝________．解析：因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0.又f＋f(x)＝0，所以f(x＋5)＋f＝0，则f(x＋5)＝f(x)，因此f(x)是周期为5的周期函数．由f(1)＝1，f(2)＝2，知f(－1)＝－1，f(－2)＝－2.故f(3)＋f(4)＋f(5)＝f(－2)＋f(－1)＋f(0)＝－3.答案：－33．在Rt△ACB中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且∠ACB＝90°，a＝4，b＝3，D为边AB的中点，则sin∠ADC的值为________．解析：因为∠ACB＝90°，a＝4，b＝3，所以c＝5，且sinA＝.又因为D为边AB的中点，所以CD＝.在△ADC中，由正弦定理得＝，所以sin∠ADC＝·sinA＝×＝.答案：4．(2019·天津高考)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则BD·AE＝________．解析：如图所示，点E在线段CB的延长线上，所以EB∥AD.因为∠DAB＝30°，所以∠ABE＝30°.因为AE＝BE，所以∠EAB＝30°.又因为AB＝2，所以BE＝2.因为AD＝5，所以EB＝AD.所以AE＝AB＋BE＝AB－AD.又因为BD＝AD－AB，所以BD·AE＝(AD－AB)＝AD·AB－AD2－AB2＋AD·AB＝|AD|·|AB|·cos30°－×52－(2)2＝×5×2×－10－12＝21－22＝－1.答案：－15．过直线l：x＋y＋1＝0上一点P作圆C：x2＋y2－4x－2y＋4＝0的两条切线，切点分别为A，B，若四边形PACB的面积为3，则点P的横坐标为________．解析：圆C的方程式为(x－2)2＋(y－1)2＝1.所以圆心C(2，1)，圆的半径r＝1.又四边形PACB的面积为3，所以|PA|·1＝3，则|PA|＝3.设点P(a，－a－1)，在Rt△PAC中，由勾股定理得|PC|2＝|PA|2＋r2＝10，即(a－2)2＋(－a－2)2＝10，则a＝±1.答案：±16．已知四棱锥P-ABCD的底面边长都是2，PA＝PC＝2，PB＝PD，且∠DAB＝60°，点M是PC的中点，则异面直线MB与AP所成的角为________．解析：如图，连接AC与BD相交于点N，则MN∥PA，则MB，AP所成的角为∠NMB或∠NMB的补角．由题意知NB＝1，MN＝，BN⊥MN，则tan∠NMB＝＝，则∠NMB＝30°.答案：30°7．直线l是抛物线x2＝2y在点(－2，2)处的切线，点P是圆x2－4x＋y2＝0上的动点，则点P到直线l的距离的最小值等于________．解析：由x2＝2y，得y′＝′＝x.所以直线l的斜率k＝y′|x＝－2＝－2.因此直线l的方程为y－2＝－2(x＋2)，即2x＋y＋2＝0.所以圆心(2，0)到l的距离d＝＝，故点P到l的距离的最小值为－2.答案：－28．已知数列{an}为正项的递增等比数列，a1＋a5＝82，a2·a4＝81，记数列的前n项和为Tn，则使不等式2019＞1成立的正整数n的最大值为________．解析：因为数列{an}是正项的递增等比数列，又a1＋a5＝82，a2·a4＝a1·a5＝81.因此得a1＝1，a5＝81.所以公比q＝3，an＝3n－1，则＝.所以Tn＝2＋＋＋…＋＝3，所以2019＞1化为＞1.所以3n＜2019，所以n的最大值为6.答案：69．已知动点P在椭圆＋＝1上，若点A的坐标为(3，0)，点M满足|AM|＝1，且PM·AM＝0，则|PM|的最小值是________．解析：由PM·AM＝0，知PM⊥AM.又A(3，0)，且|AM|＝1，所以点M的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝1，则PM是该圆的切线，故|PM|＝＝.当|PA|最短时，则|PM|最小．由椭圆的几何性质，易知|PA|min＝a－c＝4.故|PM|的最小值是＝.答案：10．在平面直角坐标系xOy中，已知任意角θ以x轴正半轴为始边，终边经过点P(x0，y0)，设|OP|＝r(r＞0)，定义f(θ)＝，给出四个下列结论：①方程f(θ)＝2无解；②该函数图象的一个对称中心是；③该函数的图象关于y轴对称；④该函数在区间是上为增函数．其中不正确的结论的序号是________．解析：依题意，f(θ)＝＝sinθ－cosθ＝sin.因为f(θ)≤，所以f(θ)＝2无解，①正确．显然f＝≠0，且f(θ)不是偶函数，则②...
