高二数学直线的倾斜角和斜率知识精讲 人教版VIP免费

高二数学直线的倾斜角和斜率知识精讲人教版一.本周教学内容：直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式、直线方程的斜截式［知识点］1.直线的方程和方程的直线：定义：（1）以一个方程f（x，y）＝0的解为坐标的点都在直线l上。（2）直线l上的点的坐标都是方程f（x，y）＝0的解。满足（1）（2）的方程f（x，y）＝0是直线l的方程，同时称直线l为方程f（x，y）＝0的直线。2.直线的倾斜角：定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕交点逆时针旋转与直线重合时，所转过的最小正角为直线倾斜角。规定：当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°。范围：0°≤α＜180°注意：（1）定义分两部分：一部分是与x轴相交，另一部分与x轴平行。（2）与x轴相交的定义中，应理解三个地方：①x轴绕交点旋转；②逆时针方向；③最小正角。（3）应特别注意倾斜角的范围［0，π）。（4）任何一条直线有唯一倾斜角，表示直线的倾斜程度，但倾斜角为α的直线有无穷多条。3.直线的斜率：定义：倾斜角不是90°的直线，其倾斜角的正切，叫做这条直线的斜率。符号：常用k表示，即k＝tanα。注意：（1）所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率。（）由正切的单调性可知，单增，，时单增，两个单2022[)调区间。（3）当倾斜角为90°时斜率不存在，但直线存在。4.过两点的直线斜率公式：公式推导：如图，已知直线l过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），倾斜角为α，求斜率k。yxOP1P2yxOP1P2P用心爱心专心yxOP2P1yxOP2P1P作或，则，OPPPPPPxxyy12211212tanyyxxyyxx12122121即：kyyxxyyxx12122121注意：（1）斜率公式与点的顺序无关。（2）由公式可知表示直线倾斜程度，可以由直线上两点确点，无需求倾斜角。（3）当x1＝x2，y1≠y2时，α＝90°没有斜率。（4）利用公式求斜率时，应注意隐含条件x1≠x2。5.直线的方向向量：定义：直线上的向量及与之平行的向量都称为直线的方向向量。PP12意义：表示直线的方向。6.直线方程的点斜式：（1）方程的推导：略（）方程的形式：2yykxx11（3）方程的特殊情况：y＝y1（4）不能用点斜式表示的直线：x＝x17.直线方程的斜截式：（1）方程的推导：（略）（2）截距的概念：（是坐标不是距离）（3）方程的形式：y＝kx＋b（4）方程的特殊情况：y＝0（5）不能用斜截式表示的直线：x＝0【典型例题】例1.已知直线l的斜率k满足k>-2，求直线l的倾斜角的范围。解：设直线l的倾斜角为α由题意知tank2画出且及的图象kktan022由且得：tan202arctan2用心爱心专心由图知，直线倾斜角的范围是或l022arctan小结：已知直线l的斜率的范围，求直线l的倾斜角的范围时，常先画出函数ktan02且的图象，然后再由图象确定倾斜角的范围。例2.已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半，ABAB34l求直线l的斜率。解：设直线l的倾斜角为α，由题意知直线AB的倾斜角为2αtantantan23421342kAB，即：38302tantan解之，得：或tantan133tan2002180290，且ooo04513oo，tan直线的斜率为l13小结：由2α的正切值确定α的范围，及由α的范围求α的正切值是本例中易忽略的地方，在解同类型题的过程中应当注意。例3.求经过两点P1（2，1）和P2（m，2）（m∈R）的直线l的斜率，并且求出l的倾斜角α及其取值范围。解：（1）当m＝2时，x1＝x2＝2∴直线垂直于轴，因此直线的斜率不存在，倾斜角lx2（）当时，直线的斜率2212mkml当时，mk20arctan1202m，，当时，mk20arctan122m，，小结：利用斜率公式时，应注意公式的应用范围。当斜率k≥0时，直线的倾斜角为用心爱心专心arctank；当k＜0时，直线的倾斜角为π＋arctank。例4.求证：A（1，-1）、B（-2，-7）、C...