专题14两角和与差的三角函数1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).热点题型一三角函数式的化简、求值例1、(1)化简：(0＜α＜π)＝________.(2)计算：－sin10°＝________.解析(1)原式＝＝＝.因为0＜α＜π，所以0＜＜，所以cos＞0，所以原式＝cosα.(2)原式＝－sin10°·＝－＝＝＝＝.答案(1)cosα(2)【提分秘籍】(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等.(2)对于给角求值问题，一般给定的角是非特殊角，这时要善于将非特殊角转化为特殊角.另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值.【举一反三】(1)化简：＝________.(2)已知sinα＝＋cosα，且α∈，则的值为________.(2)法一 sinα＝＋cosα，∴sinα－cosα＝，∴sin＝，∴sin＝.又 α∈，∴α－∈，∴cos＝，∴cos2α＝－sin＝－2sin·cos＝－2××＝－，∴＝＝－.热点题型二三角函数的给值求值、给值求角例2、(1)已知0<β<<α<π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值.(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，求2α－β的值.【解析】(1) 0<β<<α<π，∴<α－<π，－<－β<，∴sin＝＝，cos＝＝，∴cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝，∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝2×－1＝－.(2) tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝>0，又α∈(0，π).∴0<α<，又 tan2α＝＝＝>0，∴0<2α<，∴tan(2α－β)＝＝＝1. tanβ＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－.【提分秘籍】(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示：①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等.(3)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.【举一反三】已知cosα＝，cos(α－β)＝.(1)求tan2α的值；(2)求β的值.【解析】(1) cosα＝，0<α<，∴sinα＝，∴tanα＝4，∴tan2α＝＝＝－.(2) 0<β<α<，∴0<α－β<，∴sin(α－β)＝，∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝.∴β＝.热点题型三三角变换的简单应用例3．已知f(x)＝sin2x－2sin·sin.(1)若tanα＝2，求f(α)的值；(2)若x∈，求f(x)的取值范围.(2)由(1)得f(x)＝(sin2x＋cos2x)＋＝sin＋.由x∈，得≤2x＋≤.∴－≤sin≤1，0≤f(x)≤，所以f(x)的取值范围是.【提分秘籍】解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有两个，一个是变换函数的名称，一个是变换角的形式.变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等.【举一反三】已知△ABC为锐角三角形，若向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)与向量q＝(sinA－cosA，1＋sinA)是共线向量.(1)求角A；(2)求函数y＝2sin2B＋cos的最大值.【解析】(1)因为p，q共线，所以(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA＋sinA)(sinA－cosA)，则sin2A＝.又A为锐角，所以sinA＝，则A＝.1.【2017江苏，5】若则▲.【答案】【解析】．故答案为．2.【2017北京，理12】在平面直角坐标系xOy...
