课时分层作业(一)空间向量及其运算(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4．则a与b的夹角〈a，b〉＝()A．30°B．45°C．60°D．以上都不对D[∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2ab＝|c|2，∴a·b＝，∴cos〈a·b〉＝＝．]2．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量AC1的共有()①(AB＋BC)＋CC1；②(AA1＋A1D1)＋D1C1；③(AB＋BB1)＋B1C1；④(AA1＋A1B1)＋B1C1．A．1个B．2个C．3个D．4个D[根据空间向量的加法法则以及正方体的性质逐一进行判断：①(AB＋BC)＋CC1＝AC＋CC1＝AC1．②(AA1＋A1D1)＋D1C1＝AD1＋D1C1＝AC1．③(AB＋BB1)＋B1C1＝AB1＋B1C1＝AC1．④(AA1＋A1B1)＋B1C1＝AB1＋B1C1＝AC1．所以，所给4个式子的运算结果都是AC1．]3．如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则FG·AB＝()A．B．1C．D．B[由题意可得FG＝AC，∴FG·AB＝×1×1×cos60°＝．]4．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈OA，BC〉的值为()A．B．C．－D．0D[如图所示，∵OA·BC＝OA·(OC－OB)＝OA·OC－OA·OB＝|OA|·|OC|·cos∠AOC－|OA|·|OB|·cos∠AOB＝0，∴OA⊥BC，∴〈OA，BC〉＝，cos〈OA，BC〉＝0．]5．设三棱锥OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，G是△ABC的重心，则OG等于()A．a＋b－cB．a＋b＋cC．(a＋b＋c)D．a＋b＋c)D[如图所示，OG＝OA＋AG＝OA＋(AB＋AC)＝OA＋(OB－OA＋OC－OA)＝(a＋b＋c)．]二、填空题6．已知|a|＝2，|b|＝，a·b＝－，则a·b所夹的角为________．π[cos〈a·b〉＝＝＝－，又〈a·b〉的取值范围为[0，π]，∴〈a，b〉＝π．]7．已知向量a，b，c两两夹角都是60°，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则|a－2b＋c|＝________．[∵|a－2b＋c|2＝a2＋4b2＋c2－4a·b－4b·c＋2a·c＝1＋4＋1－4×cos60°－4×cos60°＋2×cos60°＝3，∴|a－2b＋c|＝．]8．四棱柱ABCDA1B1C1D1各棱长均为1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，则点2B与点D1两点间的距离为________．[四棱柱ABCDA1B1C1D1各棱长均为1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°．∴BD1＝BA＋AD＋DD1，∴BD12＝(BA＋AD＋DD1)2＝BA2＋AD2＋DD12＋2BA·AD＋2BA·DD1＋2AD·DD1＝1＋1＋1＋2×1×1×cos120°＋2×1×1×cos120°＋2×1×1×cos60°＝2，∴|BD1|＝，∴点B与点D1两点间的距离为．]三、解答题9．已知长方体ABCDA′B′C′D′，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：(1)AA′－CB；(2)AB′＋B′C′＋C′D′；(3)AD＋AB－A′A．[解](1)AA′－CB＝AA′＋BC＝AA′＋A′D′＝AD′．(2)AB′＋B′C′＋C′D′＝AD′．(3)设M是线段AC′的中点，则AD＋AB－A′A＝AD＋AB＋AA′＝(AD＋AB＋AA′)＝AC′＝AM．向量AD′、AM如图所示．10．如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB＝a，AD＝b，AA1＝c，M是C1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN∶NA1＝4∶1．用a，b，c表示以下向量：3(1)AM；(2)AN．[解](1)AM＝(AC1＋AD1)＝[(AB＋AD＋AA1)＋(AD＋AA1)]＝(AB＋2AD＋2AA1)＝a＋b＋c．(2)AN＝AC＋CN＝AC＋(AA1－AC)＝AB＋AD＋AA1＝a＋b＋c．11．(多选题)化简下列各式，结果为零的向量为()A．AB＋BC＋CAB．OA－OD＋ADC．NQ＋QP＋MN－MPD．MN＋BM＋NBABCD[对于A，AB＋BC＋CA＝AC＋CA＝0．对于B，OA－OD＋AD＝DA＋AD＝0．对于C，NQ＋QP＋MN－MP＝(NQ＋QP)＋(MN－MP)＝NP＋PN＝0．对于D，MN＋BM＋NB＝MN＋NB＋BM＝MB＋BM＝0．]12．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角是()A．60°B．120°C．30°D．90°B[a·b＝(e1＋e2)·(e1－2e2)＝e－e1·e2－2e＝1－1×1×－2＝－，|a|＝＝＝＝＝．|b|＝＝＝＝＝．∴cos〈a，b〉＝＝＝－，∴〈a，b〉＝120°．]413．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．－13[∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，∴a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13．]14．(一题两空)如图，四面体ABCD的每条棱长都等于2,点E，F分别为棱AB，AD的中点，则|AB＋BC|＝______，|BC－EF|＝______．2[|AB＋BC|＝|AC|＝2，EF＝BD，BD·BC＝2×2×cos60°＝2，故|BC－EF|2＝|BC－BD|2＝BC2－BC·BD＋BD2＝4－2＋×4＝3，故|BC－EF|＝．]15．在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且|MB|＝2|AM|，|CN|＝|ND|，求|MN|．[解]∵MN＝MB＋BC＋CN＝AB＋(AC－AB)＋(AD－AC)＝－AB＋AD＋AC．∴MN·MN＝＝AB2－AD·AB＋AC·AD－AB·AC＋AD2＋AC2＝a2－a2＋a2－a2＋a2＋a2＝a2，故|MN|＝＝a，即|MN|＝a．5
