第三十四讲基本不等式及其应用班级________姓名________考号________日期________得分________一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．“a>0且b>0”是“≥”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A2．设a、b∈R＋，且a＋b＝4，则有()A.≥B.＋≥1C.≥2D.≥解析：由a，b∈R*，且a＋b＝4得2≤4⇔≤2，≥，又由≤＝，即≤.由此可知，A，C，D都不正确，则只有B正确，故选B.答案：B3．设0
b>c>0，则2a2＋＋－10ac＋25c2的最小值是()A．2B．4C．2D．5解析：原式＝a2＋＋＋a2－10ac＋25c2＝a2＋＋(a－5c)2≥a2＋＋0≥4，当且仅当b＝a－b、a＝5c且a2＝，即a＝2b＝5c＝时“＝”都成立，故原式的最小值为4，选B.答案：B6．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是()A．3B．4C.D.解析：依题意得(x＋1)(2y＋1)＝9，(x＋1)＋(2y＋1)≥2＝6，x＋2y≥4，当且仅当x＋1＝2y＋1，即x＝2，y＝1时取等号，故x＋2y的最小值是4，选B.答案：B二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．在“＋＝1”中的“__”处分别填上一个自然数，使它们的和最小，并求出其和的最小值．________分析：.本题条件、结论皆开放，可设所要填写的两数分别为x，y，再利用均值定理去探索．解析：设这两个自然数分别为x，y，则有x＋y＝(x＋y)＝13＋＋≥13＋2＝25，当且仅当＝，且＋＝1，即x＝10，y＝15时等号成立，故分别填10和15，其和的最小值为25.答案：101525评析：本题解答的关键是将已知中的“1”代换．应用均值定理求函数的最值时，必须注意“一正二定三相等”．8．若a，b是正常数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，则＋≥，当且仅当＝时取等号．利用以上结论，可以得到函数f(x)＝＋(x∈)的最小值为________，取最小值时x的值为________．解析：f(x)＝＋≥＝25.当且仅当＝，即x＝时上式取最小值，即[f(x)min]＝25.答案：259．(2010·重庆)已知t>0，则函数y＝的最小值为________．解析：依题意得y＝t＋－4≥2－4＝－2，此时t＝1，即函数y＝(t>0)的最小值是－2.答案：－2用心爱心专心210．(2010·浙江)若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．解析：由基本不等式得xy≥2＋6，令＝t得不等式t2－2t－6≥0，解得t≤－(舍去)或者t≥3，故xy的最小值为18.答案：18三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．设a、b、c为正数，求证＋＋≥a＋b＋c分析：通过观察可得：·＝c2，·＝b2，·＝a2从而利用基本不等式即可．证明： a、b、c均是正数∴，，均是正数∴＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b三式相加得：2≥2(a＋b＋c)∴＋＋≥a＋b＋c评析：先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质，(注意限制条件)通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．12．设函数f(x)＝x＋，x∈[0，＋∞)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值；(2)当00，>0.所以f(x)≥2－1.当且仅当x＋1＝，即x＝－1时，f(x)取得最小值，最小值为2－1.(2)因为f(x)＝x＋＝x＋1＋－1，(此时再利用(1)的方法，等号取不到)设x1>x2≥0，则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)·.由于x1>x2≥0，所以x1－x2>0，x1＋1>1，x...
