第二讲分类讨论思想、转化与化归思想素能演练提升十九SUNENGYANLIANTISHENGSHIJIU掌握核心,赢在课堂1.抛物线y2=4px(p>0)的焦点为F,P为其上的一点,O为坐标原点,若△OPF为等腰三角形,则这样的点P的个数为()A.2B.3C.4D.6解析:当|PO|=|PF|时,点P在线段OF的中垂线上,此时,点P的位置有两个;当|OP|=|OF|时,点P的位置也有两个;对|FO|=|FP|的情形,点P不存在.事实上,F(p,0),若设P(x,y),则|FO|=p,|FP|=,若=p,则有x2-2px+y2=0,因为y2=4px,所以x2+2px=0,解得x=0或x=-2p,这与点P在抛物线上或能与点O,F构成三角形矛盾.所以符合要求的点P一共有4个.故选C.答案:C2.(2014贵州六校第一次联考,3)在等比数列{an}中,a5·a11=3,a3+a13=4,则=()A.3B.-C.3或D.-3或-解析:a5a11=a3a13=3,a3+a13=4,所以a3,a13是方程x2-4x+3=0的两根,a3=1,a13=3或a3=3,a13=1.所以=3或.答案:C3.定义a*b=-ka-2,则方程x*x=0有唯一解时,实数k的取值范围是()A.{-}B.[-2,-1]∪[1,2]C.[-]D.[-,-1]∪[1,]解析:由题意,方程x*x=0即为-kx-2=0,即=kx+2有唯一解.所以函数y=与y=kx+2有一个公共点.而y=,即x2-y2=1(y≥0)是双曲线在x轴上方的部分.如图所示.因为直线y=kx+2恒过点(0,2),结合图象知,只有1≤k≤2或-2≤k≤-1时只有一个公共点.答案:B4.若0<α<β<,sinα+cosα=a,sinβ+cosβ=b,则()A.abC.ab<1D.ab>2解析:若直接比较a与b的大小比较困难,若将a与b大小比较转化为a2与b2的大小比较就容易多了.因为a2=1+sin2α,b2=1+sin2β,又因为0<2α<2β<,所以sin2α0,所以a时,方程化为x2+x+a-+a=0,即x2+x+2a-=0.判别式Δ=1-4=2-8a.因为2-8a<0,所以方程无解.综上,0≤a≤.答案:0≤a≤9.设F1,F2为椭圆=1的两个焦点,P为椭圆上一点.已知P,F1,F2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,求的值.解:若∠PF2F1=90°,则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2. |PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2,∴|PF1|=,|PF2|=.∴.若∠F1PF2=90°,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=|PF1|2+(6-|PF1|)2,∴|PF1|=4,|PF2|=2.∴=2.综上知,或2.10.(2014山西四校第二次联考,21)已知函数f(x)=.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)设g(x)=x2+2x+3,证明:对任意x1∈(1,2)∪(2,+∞),总存在x2∈R,使得f(x1)>g(x2).(1)解:f'(x)=,设h(x)=-2ln(x-1)+x-1-,则h'(x)=≥0,故h(x)在(1,+∞)上是单调递增函数.又h(2)=0,故当x∈(1,2)时,h(x)<0,则f'(x)<0,f(x)是单调递减函数;当x∈(2,+∞)时,h(x)>0,则f'(x)>0,f(x)...
