专题限时集训(三)等差数列、等比数列[专题通关练](建议用时：30分钟)1．[一题多解]已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝6，S3＝12，则公差d等于()A．1B.C．2D．3C[法一：(基本量法)由题设得解得故选C.法二：(性质法)因为S3＝＝12，所以a1＋a3＝8，所以2a2＝8，即a2＝4.又a3＝6，故公差d＝a3－a2＝6－4＝2.故选C.]2．设Sn为等差数列{an}的前n项和，且2＋a5＝a6＋a3，则S7＝()A．28B．14C．7D．2B[ {an}是等差数列，∴a3＋a6＝a4＋a5＝a5＋2，∴a4＝2.∴S7＝7a4＝7×2＝14.故选B.]3．[易错题]在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2－6x＋8＝0的两根，则的值为()A．2B．4C．±2D．±4A[ a3，a15是方程x2－6x＋8＝0的根，∴a3a15＝8，a3＋a15＝6，易知a3，a15均为正，∴a9＝a3q6＞0.由等比数列的性质知，a1a17＝a＝a3a15＝8，∴a9＝2，＝2，故选A.]4．设公比为q(q>0)的等比数列的前n项和为Sn，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1等于()A．－2B．－1C.D.B[S4－S2＝a3＋a4＝3a4－3a2，即3a2＋a3－2a4＝0，即3a2＋a2q－2a2q2＝0，即2q2－q－3＝0，解得q＝－1(舍)或q＝，当q＝时，代入S2＝3a2＋2，得a1＋a1q＝3a1q＋2，解得a1＝－1，故选B.]5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足Sn>0的最大自然数n的值为()A．6B．7C．12D．13C[ a1>0，a6a7<0，∴a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0,a1＋a13＝2a7<0，∴S12>0，S13<0，∴满足Sn>0的最大自然数n的值为12.]6．[易错题]已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝，S3＝，则公比q＝________.1[(1)当公比q＝1时，S3＝3a1＝3a2＝，满足题意．(2)当公比q≠1时，由S3＝a1＋a2＋a3＝，可知a1＋a3＝3，∴＋＝3得q＝1(舍去)．综上可知，q＝1.]7．(2019·武汉模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S3＝a5，am＝2019，则m＝________.1010[设公差为d，由题知S3＝a5，即3a1＋3d＝a1＋4d，又a1＝1，故d＝2，于是an＝1＋2(n－1)＝2n－1，再由2m－1＝2019，得m＝1010.]8．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．8[ {an}成等差数列，∴由a7＋a8＋a9＞0可得a8＞0，又a7＋a10＜0，∴a8＋a9＜0，故a8＞0，a9＜0，∴当n＝8时，Sn最大．][能力提升练](建议用时：20分钟)9．(2019·马鞍山二模)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且－a3，a2，a4成等差数列，则Sn与an的关系是()A．Sn＝2an－1B．Sn＝2an＋1C．Sn＝4an－3D．Sn＝4an－1A[设等比数列的公比q(q＞0)，由a1＝1，且－a3，a2，a4成等差数列，得2a2＝a4－a3，即2q＝q3－q2，得q＝2，∴an＝2n－1，Sn＝＝2n－1，则Sn＝2an－1.故选A.]10．已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a1·a6·a11＝3，b1＋b6＋b11＝7π，则tan＝________.－[ {an}是等比数列，{bn}是等差数列，且a1·a6·a11＝3，b1＋b6＋b11＝7π，∴a＝()3,3b6＝7π，∴a6＝，b6＝，∴tan＝tan＝tan＝tan＝－.]11．已知数列{an}满足a1＝－40，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n，则an取最小值时n的值为________．10或11[由nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n＝2n(n＋1)，两边同时除以n(n＋1)，得－＝2，所以数列是首项为－40、公差为2的等差数列，所以＝－40＋(n－1)×2＝2n－42，所以an＝2n2－42n，对于二次函数f(x)＝2x2－42x，在x＝－＝－＝10.5时，f(x)取得最小值，因为n取正整数，且10和11到10.5的距离相等，所以n取10或11时，an取最小值．]12．(2019·长春三模)已知数列{an}满足an＋1＝2an＋3×2n，a1＝2，数列{bn}满足bn＋1＝bn＋2n＋1，b1＝1.(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列{bn}的通项公式．[解](1)证明：根据题意，数列{an}满足an＋1＝2an＋3×2n，等式两边除以2n＋1得＝＋，故数列是以＝1为首项，为公差的等差数列．(2)根据题意，由bn＋1＝bn＋2n＋1得bn＋1－bn＝2n＋1，则bn－bn－1＝2(n－1)＋1＝2n－1，则bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝(2n－1)＋(2n－3)＋…＋3＋1＝＝n2.题号内容押题依据1等差数列基本量的运算，等差数列的性质以等差数列为载体，考查数列中“知三求二”的基本量求法，考...
