7.5.3数列建模问题核心考点·精准研析考点一等差、等比数列简单的实际应用1.有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个,现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒,问细菌将病毒全部杀死至少需要()A.6秒钟B.7秒钟C.8秒钟D.9秒钟2.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤.斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根5尺长的金杖,一头粗,一头细.在粗的一端截下1尺,重4斤;在细的一端截下1尺,重2斤.问依次每一尺各重多少斤?”根据上面的已知条件,若金杖由粗到细是均匀变化的,问中间3尺的重量为()A.6斤B.9斤C.9.5斤D.12斤3.一个凸多边形的内角成等差数列,其中最小的内角为,公差为,则这个多边形的边数为________.4.为了观看2022年的冬奥会,小明打算从2018年起,每年的1月1日到银行存入a元的一年期定期储蓄,若年利率为p,且保持不变,并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期.2019年1月1日小明去银行继续存款a元后,他的账户中一共有________元;到2022年的1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出,则可取回________元.【解析】1.选B.设需要n秒钟,则1+21+22+…+2n-1≥100,所以≥100,所以n≥7.2.选B.依题意,金杖由粗到细各尺的重量构成一个等差数列,记为{an},则a1=4,a5=2,由等差数列的性质得a2+a4=a1+a5=2a3=6,所以a3=3,所以中间3尺的重量为a2+a3+a4=3a3=9(斤).3.由于凸n边形的内角和为(n-2)π,故n+×=(n-2)π.化简得n2-25n+144=0.解得n=9或n=16(舍去).答案:94.依题意,2019年1月1日存款a元后,账户中一共有a(1+p)+a=(ap+2a)(元).2022年1月1日可取出钱的总数为a(1+p)4+a(1+p)3+a(1+p)2+a(1+p)=a·=[(1+p)5-(1+p)]=[(1+p)5-1-p].答案:(ap+2a)[(1+p)5-1-p]1.解答数列应用题的步骤(1)审题——仔细阅读材料,认真理解题意.(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题,弄清该数列的结构和特征.(3)求解——求出该问题的数学解.(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中.2.具体解题步骤用框图表示如下考点二数列的实际应用【典例】某商店投入81万元经销某种纪念品,经销时间共60天,市场调研表明,该商店在经销这一产品期间第n天的利润an=(单位:万元,n∈N*).为了获得更多的利润,商店将每天获得的利润投入到次日的经营中,记第n天的利润率bn=.例如,b3=.(1)求b1,b2的值.(2)求第n天的利润率bn.【解题导思】序号题目拆解(1)①an=an以分段函数给出,注意变量范围②bn=,求b1,b2的值结合例子b3=,求b1,b2(2)求第n天的利润率bn结合an=,bn=求解,注意bn为分段函数形式【解析】(1)当n=1时,b1=;当n=2时,b2=.(2)当1≤n≤20时,a1=a2=a3=…=an-1=an=1,所以bn==.当21≤n≤60时,bn====.所以第n天的利润率bn=1.若典例中条件不变,求该商店在经销此纪念品期间,哪一天的利润率最大?并求该日的利润率.【解析】当1≤n≤20时,bn=递减,此时bn的最大值为b1=;当21≤n≤60时,bn==≤=当且仅当n=,即n=40时,“=”成立.又因为<,所以当n=40时,(bn)max=.所以该商店在经销此纪念品期间,第40天的利润率最大,且该日的利润率为.2.若典例中条件不变,60天的利润总和是多少?【解析】当1≤n≤20时,a1=a2=a3=…=an-1=an=1,当21≤n≤60时,an=,所以{an}的前20项是常数列,后40项是以为首项,以为公差的等差数列,所以S60=20+40×+×=182(万元).所以60天的利润总和是182万元.解答数列实际应用问题的步骤(1)确定模型类型:理解题意,看是哪类数列模型,一般有等差数列模型、等比数列模型、简单递推数列模型.基本特征如表:数列模型基本特征等差数列均匀增加或者减少等比数列指数增长或减少,常见的是增长率问题、存款复利问题简单递推数列指数增长的同时又均匀减少.如年收入增长率为20%,每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销,即数列{an}满足an+1=1.2an-a(2)准确解决模型:解模就是根据数列的知识,求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等,在解模时要注意运算准确.(3)给出问题的回答:实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案,在解题中不要忽视了这点.为了加强新旧动能转化,某市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车,每更...
