题组层级快练(十三)1.方程log3x+x-3=0的解所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案C解析设f(x)=log3x+x-3,则f(2)=log32-1<0,f(3)=log33+3-3=1>0.∴f(x)=0在(2,3)内有零点.又f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴f(x)=0的零点在(2,3)内.2.(2015·衡水调研卷)方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是()A.1B.2C.3D.4答案B解析(数形结合法) a>0,∴a2+1>1.而y=|x2-2x|的图像如图,∴y=|x2-2x|的图像与y=a2+1的图像总有两个交点.3.函数f(x)=的零点个数为()A.0B.1C.2D.3答案D解析依题意,在考虑x>0时可以画出y=lnx与y=x2-2x的图像,可知两个函数的图像有两个交点,当x≤0时,函数f(x)=2x+1与x轴只有一个交点,所以函数f(x)有3个零点.故选D.4.(2014·湖北文)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x.则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为()A.{1,3}B.{-3,-1,1,3}C.{2-,1,3}D.{-2-,1,3}答案D解析当x≥0时,函数g(x)的零点即方程f(x)=x-3的根,由x2-3x=x-3,解得x=1或3;当x<0时,由f(x)是奇函数,得-f(x)=f(-x)=x2-3(-x),即f(x)=-x2-3x.由f(x)=x-3,得x=-2-(正根舍去).故选D.5.(2015·浙江嘉兴测试)已知函数f(x)=()x-cosx,则f(x)在[0,2π]上的零点个数为()A.1B.2C.3D.4答案C解析函数f(x)=()x-cosx的零点个数为()x-cosx=0⇒()x=cosx的根的个数,即函数h(x)=()x与g(x)=cosx的图像的交点个数.如图所示,在区间[0,2π]上交点个数为3,故选C.6.函数f(x)=x3-x2-x+1在[0,2]上()A.有两个零点B.有三个零点C.仅有一个零点D.无零点答案C解析由于f(x)=x3-x2-x+1=(x2-1)(x-1).令f(x)=0,得x=-1,1.因此f(x)在[0,2]上仅有一个零点.7.函数f(x)=-cosx在[0,+∞)内()A.没有零点B.有且仅有一个零点C.有且仅有两个零点D.有无穷多个零点答案B解析原函数f(x)=-cosx可理解为幂函数x与余弦函数的差,其中幂函数在区间[0,+∞)上单调递增、余弦函数的最大值为1,在同一坐标系内构建两个函数的图像,注意到余弦从左到右的第2个最高点是x=2π,且>1=cos2π,不难发现交点仅有一个.正确选项为B.8.方程|x|=cosx在(-∞,+∞)内()A.没有根B.有且仅有一个根C.有且仅有两个根D.有无穷多个根答案C解析求解方程|x|=cosx在(-∞,+∞)内根的个数问题,可转化为求解函数f(x)=|x|和g(x)=cosx在(-∞,+∞)内的交点个数问题.f(x)=|x|和g(x)=cosx的图像如图所示.显然有两交点,即原方程有且仅有两个根.9.若函数f(x)=x3-3x+a有3个不同的零点,则实数a的取值范围是()A.(-2,2)B.[-2,2]C.(-∞,1)D.(1,+∞)答案A解析只需f(-1)f(1)<0,即(a+2)(a-2)<0,故a∈(-2,2).10.(2015·东城区期末)已知x0是函数f(x)=2x+的一个零点.若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则()A.f(x1)<0,f(x2)<0B.f(x1)<0,f(x2)>0C.f(x1)>0,f(x2)<0D.f(x1)>0,f(x2)>0答案B解析设g(x)=,由于函数g(x)==-在(1,+∞)上单调递增,函数h(x)=2x在(1,+∞)上单调递增,故函数f(x)=h(x)+g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在(1,+∞)上只有唯一的零点x0,且在(1,x0)上f(x1)<0,在(x0,+∞)上f(x2)>0,故选B.11.若函数f(x)=2ax2-x-1在(0,1)内恰有一个零点,则实数a的取值范围是()A.(-1,1)B.[1,+∞)C.(1,+∞)D.(2,+∞)答案C解析当a=0时,函数的零点是x=-1.当a≠0时,若Δ>0,f(0)·f(1)<0,则a>1.若Δ=0,即a=-,函数的零点是x=-2,故选C.12.已知函数f(x)=2x+x,g(x)=log2x+x,h(x)=log2x-2的零点依次为a,b,c,则()A.a