高考数学二轮复习 专题突破课时作业10 递推数列及数列求和的综合问题 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

课时作业10递推数列及数列求和的综合问题1．[2018·全国卷Ⅱ]记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值．解析：(1)解：设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.由a1＝－7得d＝2.所以{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－9.(2)解：由(1)得Sn＝·n＝n2－8n＝(n－4)2－16.所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.2．[2018·河北联盟考试]已知数列{an}是等差数列，a2＝6，前n项和为Sn，{bn}是等比数列，b2＝2，a1b3＝12，S3＋b1＝19.(1)求{an}，{bn}的通项公式；(2)求数列{bncos(anπ)}的前n项和Tn.解析：(1)∵数列{an}是等差数列，a2＝6，∴S3＋b1＝3a2＋b1＝18＋b1＝19，∴b1＝1.∵b2＝2，数列{bn}是等比数列，∴bn＝2n－1.∴b3＝4，∵a1b3＝12，∴a1＝3，∵a2＝6，数列{an}是等差数列，∴an＝3n.(2)由(1)得，令Cn＝bncos(anπ)＝(－1)n2n－1，∴Cn＋1＝(－1)n＋12n，∴＝－2，又C1＝－1，∴数列{bncos(anπ)}是以－1为首项、－2为公比的等比数列，∴Tn＝＝－[1－(－2)n]．3．[2018·唐山摸底考试]已知数列{an}满足：＋＋…＋＝(32n－1)，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log3，求＋＋…＋.解析：(1)＝(32－1)＝3，当n≥2时，因为＝－＝(32n－1)－(32n－2－1)＝32n－1，当n＝1，＝32n－1也成立，所以an＝.(2)bn＝log3＝－(2n－1)，因为＝＝，所以＋＋…＋＝＝＝.4．[2018·石家庄质量检测]已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋.(1)设bn＝，求数列{bn}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和Sn.解析：(1)由an＋1＝an＋，可得＝＋，又bn＝，∴bn＋1－bn＝，由a1＝1，得b1＝1，累加可得(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝＋＋…＋，即bn－b1＝＝1－，∴bn＝2－.(2)由(1)可知an＝2n－，设数列的前n项和为Tn，则Tn＝＋＋＋…＋①，Tn＝＋＋＋…＋②，①－②得Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝2－，∴Tn＝4－.易知数列{2n}的前n项和为n(n＋1)，∴Sn＝n(n＋1)－4＋.5．[2018·湖南五校联考]已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式．(2)设Tn为数列的前n项和，若λTn≤an＋1对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最大值．解析：(1)设数列{an}的公差为d(d≠0)，由已知得，解得或(舍去)，所以an＝n＋1.(2)由(1)知＝－，所以Tn＝＋＋…＋＝－＝.又λTn≤an＋1恒成立，所以λ≤＝2＋8，而2＋8≥16，当且仅当n＝2时等号成立．所以λ≤16，即实数λ的最大值为16.6．[2018·郑州入学测试]在等差数列{an}中，已知a3＝5，且a1，a2，a5为递增的等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}的通项公式(k∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，易知d≠0，由题意得，(a3－2d)(a3＋2d)＝(a3－d)2，即d2－2d＝0，解得d＝2或d＝0(舍去)，所以数列{an}的通项公式为an＝a3＋(n－3)d＝2n－1.(2)当n＝2k，k∈N*时，Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b3＋…＋b2k－1＋b2＋b4＋…＋b2k＝a1＋a2＋…＋ak＋(20＋21＋…＋2k－1)＝＋＝k2＋2k－1＝＋2－1；当n＝2k－1，k∈N*时，n＋1＝2k，则Sn＝Sn＋1－bn＋1＝＋2－1－2－1＝＋2.综上，Sn＝(k∈N*)．