每日一题规范练(第一周)[题目1]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若m＝，n＝，且m·n＝.(1)求角A的大小；(2)若a＝2，三角形面积S＝，求b＋c的值．解：(1)因为m＝，n＝，且m·n＝，所以－cos2＋sin2＝，则cosA＝－.又A∈(0，π)，所以A＝π.(2)S△ABC＝bcsinA＝，所以bc＝4，又由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc·cosA＝b2＋c2＋bc，所以(b＋c)2＝16，故b＋c＝4.[题目2]在公差不为0的等差数列{an}中，a1，a4，a8成等比数列，数列{an}的前10项和为45.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝，且数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由a1，a4，a8成等比数列可得，a＝a1·a8，(a1＋3d)2＝a1(a1＋7d)，所以a＋6a1d＋9d2＝a＋7a1d.因为d≠0，所以a1＝9d.由数列{an}的前10项和为45，得S10＝10a1＋45d＝45，则90d＋45d＝45，故d＝，a1＝9×＝3.因此数列{an}的通项公式an＝.(2)bn＝＝＝9.所以Tn＝9(－＋－＋－＋…＋－)＝9＝1－＝.[题目3]某市在2019年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩服从正态分布N(120，25)，现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名学生的成绩全部介于85分至145分之间，现将结果按如下方式分为6组，第一组[85，95)，第二组[95，105)，…，第六组[135，145]，得到如图所示的频率分布直方图．(1)试估计该校数学成绩的平均分数；(2)若从这50名学生中成绩在125分(含125分)以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X，求X的分布列和期望．附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.9974.解：(1)由频率分布直方图可知[125，135)的频率为1－(0.010×10＋0.024×10＋0.030×10＋0.016×10＋0.008×10)＝0.12.所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为90×0.1＋100×0.24＋110×0.3＋120×0.16＋130×0.12＋140×0.08＝112(分)．(2)由于＝0.0013，根据正态分布得P(120－3×5＜X＜120＋3×5)＝0.9974.故P(X≥135)＝＝0.0013，即0.0013×10000＝13.所以前13名的成绩全部在135分以上．根据频率分布直方图可知这50人中成绩在135分以上(包括135分)的有50×0.08＝4人，而在[125，145]的学生有50×(0.12＋0.08)＝10(人)．所以X的取值为0，1，2，3.所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.所以X的分布列为：X0123P所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.2.[题目4]如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2.E是PB的中点．(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；(2)若二面角P-AC-E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．(1)证明：因为PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥PC.因为AB＝2，AD＝CD＝1，所以AC＝BC＝.所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.又BC∩PC＝C，所以AC⊥平面PBC.因为AC⊂平面EAC，所以平面EAC⊥平面PBC.(2)解：如图，以C为原点，取AB的中点F，CF，CD，CP分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，－1，0)．设P(0，0，a)，(a＞0)，则E.所以CA＝(1，1，0)，CP＝(0，0，a)，CE＝.取m＝(1，－1，0)，则m·CA＝m·CP＝0，所以m＝(1，－1，0)为平面PAC的法向量．设n＝(x，y，z)为平面EAC的法向量，则n·CA＝n·CE＝0，所以则取z＝－2，得一个法向量n＝(a，－a，－2)．依题意|cos〈m，n〉|＝＝＝，则a＝2.于是n＝(2，－2，－2)，PA＝(1，1，－2)．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ＝|cos〈PA·n〉|＝＝，故直线PA与平面EAC所成角的正弦值为.[题目5]设椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若椭圆E的离心率为，△ABF2的周长为4.(1)求椭圆E的方程；(2)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N，证明：O，M，N三点共线．(1)解：由题意知，4a＝4，a＝.又e＝，所以c＝，b＝，所以椭圆E的方程为＋＝1.(2)证明：当直线AB，CD的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M，N在x轴上，O，M，N三点共线；当直线AB，CD的斜率存...
