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高考数学二轮复习 每日一题 规范练(第一周)理-人教版高三全册数学试题VIP免费

高考数学二轮复习 每日一题 规范练(第一周)理-人教版高三全册数学试题_第1页
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每日一题规范练(第一周)[题目1]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若m=,n=,且m·n=.(1)求角A的大小;(2)若a=2,三角形面积S=,求b+c的值.解:(1)因为m=,n=,且m·n=,所以-cos2+sin2=,则cosA=-.又A∈(0,π),所以A=π.(2)S△ABC=bcsinA=,所以bc=4,又由余弦定理得a2=b2+c2-2bc·cosA=b2+c2+bc,所以(b+c)2=16,故b+c=4.[题目2]在公差不为0的等差数列{an}中,a1,a4,a8成等比数列,数列{an}的前10项和为45.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=,且数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,由a1,a4,a8成等比数列可得,a=a1·a8,(a1+3d)2=a1(a1+7d),所以a+6a1d+9d2=a+7a1d.因为d≠0,所以a1=9d.由数列{an}的前10项和为45,得S10=10a1+45d=45,则90d+45d=45,故d=,a1=9×=3.因此数列{an}的通项公式an=.(2)bn===9.所以Tn=9(-+-+-+…+-)=9=1-=.[题目3]某市在2019年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示,全市10000名学生的成绩服从正态分布N(120,25),现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析,结果这50名学生的成绩全部介于85分至145分之间,现将结果按如下方式分为6组,第一组[85,95),第二组[95,105),…,第六组[135,145],得到如图所示的频率分布直方图.(1)试估计该校数学成绩的平均分数;(2)若从这50名学生中成绩在125分(含125分)以上的同学中任意抽取3人,该3人在全市前13名的人数记为X,求X的分布列和期望.附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.9544,P(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.9974.解:(1)由频率分布直方图可知[125,135)的频率为1-(0.010×10+0.024×10+0.030×10+0.016×10+0.008×10)=0.12.所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为90×0.1+100×0.24+110×0.3+120×0.16+130×0.12+140×0.08=112(分).(2)由于=0.0013,根据正态分布得P(120-3×5<X<120+3×5)=0.9974.故P(X≥135)==0.0013,即0.0013×10000=13.所以前13名的成绩全部在135分以上.根据频率分布直方图可知这50人中成绩在135分以上(包括135分)的有50×0.08=4人,而在[125,145]的学生有50×(0.12+0.08)=10(人).所以X的取值为0,1,2,3.所以P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.所以X的分布列为:X0123P所以E(X)=0×+1×+2×+3×=1.2.[题目4]如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2.E是PB的中点.(1)求证:平面EAC⊥平面PBC;(2)若二面角P-AC-E的余弦值为,求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.(1)证明:因为PC⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以AC⊥PC.因为AB=2,AD=CD=1,所以AC=BC=.所以AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC.又BC∩PC=C,所以AC⊥平面PBC.因为AC⊂平面EAC,所以平面EAC⊥平面PBC.(2)解:如图,以C为原点,取AB的中点F,CF,CD,CP分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,-1,0).设P(0,0,a),(a>0),则E.所以CA=(1,1,0),CP=(0,0,a),CE=.取m=(1,-1,0),则m·CA=m·CP=0,所以m=(1,-1,0)为平面PAC的法向量.设n=(x,y,z)为平面EAC的法向量,则n·CA=n·CE=0,所以则取z=-2,得一个法向量n=(a,-a,-2).依题意|cos〈m,n〉|===,则a=2.于是n=(2,-2,-2),PA=(1,1,-2).设直线PA与平面EAC所成角为θ,则sinθ=|cos〈PA·n〉|==,故直线PA与平面EAC所成角的正弦值为.[题目5]设椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点.若椭圆E的离心率为,△ABF2的周长为4.(1)求椭圆E的方程;(2)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C,D,设弦AB,CD的中点分别为M,N,证明:O,M,N三点共线.(1)解:由题意知,4a=4,a=.又e=,所以c=,b=,所以椭圆E的方程为+=1.(2)证明:当直线AB,CD的斜率不存在时,由椭圆的对称性知,中点M,N在x轴上,O,M,N三点共线;当直线AB,CD的斜率存...

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