题组层级快练(八十九)1．(2014·天津)如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.则所有正确结论的序号是()A．①②B．③④C．①②③D．①②④答案D解析因为∠BAD＝∠FBD，∠DBC＝∠DAC，又AE平分∠BAC，所以∠BAD＝∠DAC，所以∠FBD＝∠DBC，所以BD平分∠CBF，结论①正确；易证△ABF∽△BDF，所以＝，所以AB·BF＝AF·BD，结论④正确；由＝，得BF2＝AF·DF，结论②正确，选D.2．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则()A．CE·CB＝AD·DBB．CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD2D．CE·EB＝CD2答案A解析 CD⊥AB，∴以BD为直径的圆与CD相切．∴CD2＝CE·CB.在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，有CD2＝AD·DB，因此CE·CB＝AD·DB.3.如图所示，在半径为2的⊙O中，∠AOB＝90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为()A.B.C.D.答案C解析延长BO交圆O于点F，由D为OB的中点，知DF＝3，DB＝1.又∠AOB＝90°，所以AD＝.由相交弦定理知AD·DE＝DF·DB，即DE＝3×1，解得DE＝.4.如图所示，E，C分别是∠A两边上的点，以CE为直径的⊙O交∠A的两边于D，B，若∠A＝45°，则△AEC与△ABD的面积比为()A．2∶1B．1∶2C.∶1D.∶1答案A解析连接BE，易知△ABD∽△AEC，求△AEC与△ABD的面积比即求AE2∶AB2的值，设AB＝a， ∠A＝45°，CE为⊙O的直径，∴∠CBE＝∠ABE＝90°.∴BE＝AB＝a，∴AE＝a.∴AE2∶AB2＝2a2∶a2.∴AE2∶AB2＝2∶1，∴S△AEC∶S△ABD＝2∶1.5．(2014·陕西)如图，在△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________.答案3解析 B，C，F，E四点在同一个圆上，∴∠AEF＝∠ACB.又∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACB.∴＝，即＝，∴EF＝3.6．(2014·湖南理)如图，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝，BC＝2，则⊙O的半径等于________．答案解析设AO，BC的交点为D，由已知可得D为BC的中点，则在直角三角形ABD中，AD＝＝1.设圆的半径为r，延长AO交圆O于点E，由圆的相交弦定理可知BD·CD＝AD·DE，即()2＝2r－1，解得r＝.7．(2014·重庆理)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC依次交圆于B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9，则AB＝________.答案4解析依题意得△PAC∽△PBA，则＝＝，即＝＝，解得PB＝3，AB＝4.8．(2015·广州综合测试一)如图，PC是圆O的切线，切点为C，直线PA与圆O交于A，B两点，∠APC的角平分线交弦CA，CB于D，E两点，已知PC＝3，PB＝2，则的值为________．答案解析由切割线定理，可得PC2＝PA·PB⇒PA＝＝＝.由于PC切圆O于点C，由弦切角定理可知∠PCB＝∠PAD，由于PD是∠APC的角平分线，则∠CPE＝∠APD，所以△PCE∽△PAD.由相似三角形得＝＝＝3×＝.9.(2015·陕西咸阳二模)如图，已知∠BAC的角平分线与BC相交于点D，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，若EB＝8，EC＝2，则DE＝________.答案4解析根据弦切角定理，可得∠ABC＝∠EAC.因为线段AD为∠BAC的角平分线，所以∠BAD＝∠DAC.又∠ADE＝∠ABC＋∠BAD，则可以得到∠EDA＝∠EAD，即△ADE为等腰三角形，则有DE＝AE，在△ACE，△ABE中，因为∠EAC＝∠ABC且∠AEC＝∠AEB，所以△CAE∽△ABE，则有＝⇒AE＝4，即DE＝AE＝4.10．(2015·湖北黄冈模拟)已知点C在圆O的直径BE的延长线上，直线CA与圆O相切于点A，∠ACB的角平分线分别交AB，AE于D，F两点，若∠ACB＝20°，则∠AFD＝________.答案45°解析因为AC为圆的切线，由弦切角定理，得∠B＝∠EAC.又因为CD平分∠ACB，则∠ACD＝∠BCD.所以∠B＋∠BCD＝∠EAC＋∠ACD.根据三角形外角定理，得∠ADF＝∠AFD.因为BE是圆O的直径，则∠BAE＝90°.所以△ADF是等腰直角三角形．所以∠ADF＝∠AFD＝45°.11．(2015·北京丰台一模)如图，已知圆的两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为________．答案解析由相交弦定理可知AF·FB＝DF·CF＝2，又因为AF∶FB＝4∶2，所以AF＝2，...
