高考数学二轮复习 专题一 函数与导数、不等式 第3讲 不等式与线性规划课时规范练 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第3讲不等式与线性规划一、选择题1．(2016·全国卷Ⅲ)已知a＝2，b＝3，c＝25，则()A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b解析：a＝2＝，b＝3＝，c＝25＝，所以b＜a＜c.答案：A2．(2017·全国卷Ⅲ)设x，y满足约束条件则z＝x－y的取值范围是()A．[－3，0]B．[－3，2]C．[0，2]D．[0，3]解析：画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)，结合目标函数的几何意义可得函数在点A(0，3)处取得最小值z＝0－3＝－3，在点B(2，0)处取得最大值z＝2－0＝2.答案：B3．(2017·枣庄模拟)若正数x，y满足＋＝1，则3x＋4y的最小值是()A．24B．28C．25D．26解析：因为正数x，y满足＋＝1，则3x＋4y＝(3x＋4y)＝13＋＋≥13＋3×2＝25，当且仅当x＝2y＝5时取等号．所以3x＋4y的最小值是25.答案：C4．(2017·杭州调研)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝()A．2B．4C．3D．6解析：已知不等式组表示的平面区域如图中△PMQ所示．因为直线x＋y－2＝0与直线x＋y＝0平行．所以区域内的点在直线x＋y－2上的投影构成线段AB，则|AB|＝|PQ|.由解得P(－1，1)，由解得Q(2，－2)．所以|AB|＝|PQ|＝＝3.答案：C5．已知一元二次不等式f(x)＜0的解集为，则f(ex)＞0的解集为()(导学号55410096)A．{x|x＜－1或x＞－ln3}B．{x|x＞－ln3}C．{x|－1＜x＜－ln3}D．{x|x＜－ln3}解析：由题设，知f(x)＞0的解集为又f(ex)＞0，得－1＜ex＜所以x＜ln＝－ln3.故f(ex)＞0的解集为{x|x＜－ln3}．答案：D二、填空题6．已知函数f(x)＝那么不等式f(x)≥1的解集为________．解析：当x＞0时，由log3x≥1可得x≥3，当x≤0时，由≥1可得x≤0，所以不等式f(x)≥1的解集为(－∞，0]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，0]∪[3，＋∞)7．(2017·北京卷改编)若x，y满足则x＋2y的最大值为________．解析：画出可行域，设z＝x＋2y，则y＝－x＋，当直线y＝－x＋过B(3，3)时，z取得最大值9.答案：98．(2017·北京卷)已知x≥0，y≥0，且x＋y＝1，则x2＋y2的取值范围是________．解析：法一因为x≥0，y≥0且x＋y＝1.所以2≤x＋y＝1，从而0≤xy≤.因此x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝1－2xy.所以≤x2＋y2≤1.法二可转化为线段AB上的点到原点距离平方的范围，AB上的点到原点距离的范围为，则x2＋y2的取值范围为.答案：三、解答题9．(2017·肇庆模拟改编)设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，求实数m的取值范围．解：先根据约束条件画出可行域(图略)．要使可行域存在，必有m＜－2m＋1，要求可行域包含直线y＝x－1上的点，只要边界点(－m，1－2m)在直线y＝x－1的上方，且(－m，m)在直线y＝x－1的下方，故得不等式组解之得m＜－.故实数m的取值范围是.10．已知函数f(x)＝.(导学号55410097)(1)若f(x)>k的解集为{x|x<－3或x>－2}，求k的值；(2)对任意x>0，f(x)≤t恒成立，求t的取值范围．解：(1)f(x)>k⇔kx2－2x＋6k<0.由已知{x|x<－3或x>－2}是其解集，得kx2－2x＋6k＝0的两根是－3，－2.由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝，即k＝－.(2)因为x>0，f(x)＝＝≤＝，当且仅当x＝时取等号．由已知f(x)≤t对任意x>0恒成立，故t≥，即t的取值范围是.11．(2017·天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(导学号54850098)(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为即该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：图1(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y.将它变形为y＝－x＋，这是斜率为－随z变化的一簇平行直线，为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大．又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．解方程组得点M的坐标为(6，3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．图2