专题4.3两角和与差及二倍角的三角函数【基础巩固】一、填空题1．(2015·全国Ⅰ卷改编)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝________.【答案】【解析】sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin30°＝.2．(1＋tan17°)(1＋tan28°)的值是________．【答案】2【解析】原式＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°·tan28°＝1＋tan45°(1－tan17°·tan28°)＋tan17°·tan28°＝1＋1＝2.3．(2017·苏州调研)已知α是第二象限角，且tanα＝－，则sin2α＝________.【答案】－4．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)若tanα＝，tan(α－β)＝－，则tan(β－2α)＝________.【答案】－【解析】tan(β－α)＝－tan(α－β)＝，所以tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝＝＝－.5．已知sinα＝且α为第二象限角，则tan＝________.【答案】－【解析】由题意得cosα＝－，则sin2α＝－，cos2α＝2cos2α－1＝.∴tan2α＝－，∴tan＝＝＝－.6．已知θ∈，且sin＝，则tan2θ＝________.【答案】－【解析】sin＝，得sinθ－cosθ＝，①θ∈，①平方得2sinθcosθ＝，可求得sinθ＋cosθ＝，∴sinθ＝，cosθ＝，∴tanθ＝，tan2θ＝＝－.7．(2017·盐城中学月考)已知α∈，β∈，且cos＝，sin＝－，则cos(α＋β)＝________.【答案】－18．(2017·泰州调研)若cos＝，则sin(2α－)的值是________．【答案】－【解析】sin＝sin＝cos2＝2cos2－1＝2×－1＝－.二、解答题9．(2017·淮海中学模拟)已知向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(2，－1)．(1)若a⊥b，求的值；(2)若|a－b|＝2，θ∈，求sin的值．10．设cosα＝－，tanβ＝，π<α<，0<β<，求α－β的值．2解法一由cosα＝－，π<α<，得sinα＝－，tanα＝2，又tanβ＝，于是tan(α－β)＝＝＝1.又由π<α<，0<β<可得－<－β<0，<α－β<，因此，α－β＝.法二由cosα＝－，π<α<得sinα＝－.由tanβ＝，0<β<得sinβ＝，cosβ＝.所以sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝－＝－.又由π<α<，0<β<可得－<－β<0，<α－β<，因此，α－β＝.【能力提升】11．(2017·云南统一检测)cos·cos·cos＝________.【答案】－12．(2017·武汉调研)设α，β∈[0，π]，且满足sinαcosβ－cosαsinβ＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为________．【答案】[－1,1]【解析】∵sinαcosβ－cosαsinβ＝1，∴sin(α－β)＝1，∵α，β∈[0，π]，∴α－β＝，由⇒≤α≤π，∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin＋sin(α－2α＋π)＝cosα＋sinα＝sin，∵≤α≤π，∴≤α＋≤π，∴－1≤sin≤1，即所求的取值范围是[－1,1]．13．已知cos4α－sin4α＝，且α∈，则cos＝________.【答案】【解析】∵cos4α－sin4α＝(sin2α＋cos2α)(cos2α－sin2α)＝cos2α＝，又α∈，∴2α∈(0，π)，∴sin2α＝＝，∴cos＝cos2α－sin2α＝×－×＝.14．(2017·泰州模拟)如图，现要在一块半径为1m，圆心角为的扇形白铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP＝θ，平行四边形MNPQ的面积为S.3(1)求S关于θ的函数关系式；(2)求S的最大值及相应的θ角．4
