用空间向量解决立体几何的平行问题一、线线平行问题例1已知直线平面，直线平面，为垂足．求证：．证明：以点为原点，以射线为非负轴，如图1，建立空间直角坐标系，为沿轴的单位向量，且设．，，，，．，．，即．点评：由向量的共线的充要条件知，只要证明即可．二、线面平行问题例2已知是正三棱柱，是的中点，求证：平面．证法1：建立如图2的空间直角坐标系．设正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，则．设平面的法向量为，则．由，，得取得，得．由，得，即平面．证法2：如图3，记，则．，共面．又平面，平面．点评：用向量证明线面平行问题通常有两种方法：①向量与两个不共线的向量共面的用心爱心专心1充要条件是存在惟一的有序实数对，使．利用共面向量定理可证明线面平行问题，如证法2．②设为平面的法向量，要证明，只需证明，如证法1．三、面面平行问题例3已知正方体的棱长为1，分别为的中点，求证：平面平面．证明：建立如图4所示的空间直角坐标系，则．得．设为平面的法向量，设为平面的法向量．空间计算：．由，得平面平面．点评：设分别为平面的法向量，要证，只需证明：存在一个非零常数，满足，则．其实本题也可转化为线线平行，则面面平行．即用向量先证明，，则有线面平行，从而平面平面．用心爱心专心2
