第7讲函数的单调性夯实基础【p15】【学习目标】1．了解函数单调性的概念，会讨论和证明一些简单函数的单调性．2．利用函数的单调性求最值，求单调区间及参数的取值范围．【基础检测】1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是()A．y＝2x＋1B．y＝3x2＋1C．y＝D．y＝2x2＋x＋1【解析】A选项在R上是增函数；B选项在是减函数，在是增函数；C选项在和是减函数；D选项y＝2x2＋x＋1＝2＋在是减函数，在是增函数．【答案】C2．函数f(x)＝的单调递增区间是()A．(－∞，－2]B．(－∞，1]C．[1，＋∞)D．[4，＋∞)【解析】x2－2x－8≥0得x≥4或x≤－2，令x2－2x－8＝t，则y＝为增函数，∴t＝x2－2x－8在[4，＋∞)上的增区间便是原函数的单调递增区间，∴原函数的单调递增区间为[4，＋∞)．【答案】D3．定义在R上的函数f(x)在(4，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋4)为偶函数，则()A．f(2)>f(3)B．f(3)>f(6)C．f(3)>f(5)D．f(2)>f(5)【解析】 y＝f(x＋4)为偶函数，∴f(－x＋4)＝f(x＋4)，令x＝2，得f(2)＝f(－2＋4)＝f(2＋4)＝f(6)，同理，f(3)＝f(5)， f(x)在(4，＋∞)上为减函数，5<6，∴f(5)>f(6)．∴f(2)f(6)．【答案】B4．f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是()A．(8，＋∞)B．(8，9]C．[8，9]D．(0，8)【解析】2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，根据f(xy)＝f(x)＋f(y)可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有解得8＜x≤9，即x的取值范围是(8，9]．【答案】B5．已知函数f＝在上具有单调性，则实数m的取值范围是________．【解析】因为函数f＝在上具有单调性，所以或解得1f(x2)__，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.图象特征自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是__增函数__或__减函数__，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．2．函数单调性的判断方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．(3)导数法：利用导数研究函数的单调性．(4)图象法：利用图象研究函数的单调性．典例剖析【p16】考点1函数单调性的证明已知定义域为R的奇函数f(x)＝2x＋.(1)求a的值；(2)判断f(x)的单调性，并用单调性的定义加以证明．【解析】(1) 函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，即f(0)＝1＋a＝0，解得a＝－1，经检验，符合题意，∴a＝－1.(2)f(x)在R上是增函数．证明如下：由(1)可得，f(x)＝2x－，设x1，x2∈R，且x1>x2，则f(x1)－f(x2)＝2x1－－2x2＋＝(2x1－2x2)＋＝(2x1－2x2)＋＝(2x1－2x2) x1，x2∈R，且x1>x2，∴2x1>2x2，1＋>0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，因此，f(x)在R上是增函数．【点评】利用定义证明函数f(x)在给定区间D上的单调性的一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1
