专题21平面向量的应用1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题热点题型一平面向量在平面几何中的应用例1、(1)在四边形ABCD中，AC＝(1,2)，BD＝(－4,2)，则该四边形的面积为()A.B．2C．5D．10(2)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AC·BE＝1，则AB的长为__________。方法二：如图，以A为原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系，则A(0,0)，D(1,0)，设AB的长为a，则B，C，因为E是CD的中点，所以E，所以AC＝，BE＝，AC·BE＝－a2＝1，即2a2－a＝0，解得a＝或a＝0(舍去)。故AB的长为。答案(1)C(2)【提分秘籍】向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决。(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解。【举一反三】在△ABC所在平面上有一点P，满足PA＋PB＋PC＝AB，则△PAB与△ABC的面积之比是()A.B.C.D.答案：A热点题型二平面向量在三角函数中的应用例2、已知向量a＝，b＝，且x∈。(1)求a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值。解析：(1)a·b＝cos·cos－sin·sin＝cos2x。|a＋b|＝＝＝2＝2|cosx|。 x∈，∴cosx≥0，∴|a＋b|＝2cosx。(2)f(x)＝cos2x－4λcosx，即f(x)＝2(cosx－λ)2－1－2λ2。 x∈，∴0≤cosx≤1。①当λ＜0时，当且仅当cosx＝0时，f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾。②当0≤λ≤1时，当且仅当cosx＝λ时，f(x)取得最小值－1－2λ2，即－1－2λ2＝－，解得λ＝。③当λ＞1时，当且仅当cosx＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，即1－4λ＝－，解得λ＝，这与λ＞1相矛盾。综上所述，λ＝即为所求。【提分秘籍】利用向量求解三角函数问题的一般思路(1)求三角函数值，一般利用已知条件将向量关系转化为三角函数关系式。利用同角三角函数关系式及三角函数中常用公式求解。(2)求角时通常由向量转化为三角函数问题，先求值再求角。(3)解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想，即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题。【举一反三】已知向量a＝(cosx，sinx)，|b|＝1，且a与b满足|ka＋b|＝|a－kb|(k＞0)。(1)试用k表示a·b，并求a·b的最小值；(2)若0≤x≤π，b＝，求a·b的最大值及相应的x值。热点题型三平面向量在解析几何中的应用例3．(1)已知两点M(－3,0)，N(3,0)，点P为坐标平面内一动点，且|MN|·|MP|＋MN·NP＝0，则动点P(x，y)到点M(－3,0)的距离d的最小值为()A．2B．3C．4D．6(2)已知椭圆方程为＋＝1，点A(1,1)，M为椭圆上任意一点，动点N满足AN＝2AM，则N点的轨迹方程为________。答案：(1)B(2)＋＝1【提分秘籍】向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题。(2)工具作用：利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较优越的方法。【举一反三】已知两点M(－2,0)、N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN|·|MP|＋MN·NP＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝4xD．y2＝－4x解析：设P(x，y)，因为M(－2,0)，N(2,0)，所以|MN|＝4，MP＝(x＋2，y)，NP＝(x－2，y)，由|MN|·|MP|＋MN·NP＝0，则4＋(4,0)·(x－2，y)＝0，化简整理得y2＝－8x。所以选B。答案：B1.【2017江苏，16】已知向量（1）若a∥b,求x的值；（2）记,求的最大值和最小值以及对应的的值.【答案】（1）（2）时，取得最大值，为3；时，取得最小值，为.（2）.因为，所以，从而.于是，当，即时，取到最大值3；当，即时，取到最小值.1.【2016高考江苏卷】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，，，则的值是▲.【答案】【2015高考山东，理4】已知菱形的...
