第51讲双曲线[解密考纲]对双曲线的定义、标准方程及几何性质的考查，通常与平面向量、解三角形方程或不等式综合在一起，以选择题、填空题形式出现，或在解答题中以第一问作考查的第一步．一、选择题1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为(D)A．5x2－y2＝1B．－＝1C．－＝1D．5x2－y2＝1解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，∴c＝1，∴e＝＝＝，得a2＝，b2＝c2－a2＝，则双曲线的方程为5x2－y2＝1，故选D．2．已知实数1，m,9成等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为(C)A．B．2C．或2D．或解析根据条件可知m2＝9，∴m＝±3.当m＝3时，e＝＝；当m＝－3时，e＝2，故选C．3．双曲线－2y2＝1的渐近线与圆x2＋(y＋a)2＝1相切，则正实数a＝(C)A．B．C．D．解析 双曲线－2y2＝1的渐近线方程为y＝±x，圆心为(0，－a)，半径为1，∴由渐近线和圆相切，得＝1，解得a＝.4．若实数k满足00，b>0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为(B)A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1解析由e＝知，双曲线为等轴双曲线，则其渐近线方程为y＝±x，由P(0,4)知左焦点F的坐标为(－4,0)，所以c＝4，则a2＝b2＝＝8.故选B．6．已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(A)A．x±y＝0B．x±y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝0解析由已知得·＝，解得＝，故选A．二、填空题7．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线l：x＋y＝0垂直，C的一个焦点到直线l的距离为1，则C的方程为__x2－＝1__.解析 双曲线的一条渐近线与直线l：x＋y＝0垂直，∴双曲线的渐近线的斜率为，即＝.①由题意知双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的一个焦点坐标为(c,0)，根据点到直线1的距离公式，得＝1，∴c＝2，即a2＋b2＝4.②联立①②，解得a2＝1，b2＝3，∴双曲线的标准方程为x2－＝1.8．若双曲线x2－＝1(b>0)的一条渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是__(1,2]__．解析双曲线的渐近线方程为y＝±bx，则有≥1，解得b2≤3，则e2＝＝1＋b2≤4，所以10，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为__y＝±x__.解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，|OF|＝，由|AF|＋|BF|＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p.kAB＝＝＝.由得kAB＝＝＝·，则·＝，所以＝⇒＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.三、解答题10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上．解析(1) 离心率e＝，∴双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，则由点(4，－)在双曲线上，可得λ＝42－(－)2＝6，∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明： 点M(3，m)在双曲线上，∴32－m2＝6，∴m2＝3，又双曲线x2－y2＝6的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，∴MF1·MF2＝(－2－3，－m)·(2－3，－m)＝(－3)2－(2)2＋m2＝9－12＋3＝0，∴MF1⊥MF2，∴点M在以F1F2为直径的圆上．11．设A，B分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使OM＋ON＝tOD，求t的值及点D的坐标．解析(1)由题意知a＝2，焦点(c,0)到渐近线bx－ay＝0的距离＝，即b＝，∴双曲线方程为－＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0...
