第一章1.21.2.2同角三角函数的基本关系A级基础巩固一、选择题1．α是第四象限角，cosα＝，则sinα等于(B)A．B．－C．D．－[解析]∵α是第四象限角，∴sinα<0．∵∴sinα＝－．2．已知cosα＝，则sin2α等于(A)A．B．±C．D．±[解析]sin2α＝1－cos2α＝．3．已知α是第四象限角，tanα＝－，则sinα＝(D)A．B．－C．D．－[解析]不妨设α对应的锐角为α′，tanα′＝，构造直角三角形如图，则|sinα|＝sinα′＝，∵α为第四象限角，∴sinα<0，∴sinα＝－．4．化简：(1＋tan2α)·cos2α等于(C)A．－1B．0C．1D．2[解析]原式＝(1＋)·cos2α＝cos2α＋sin2α＝1．5．已知sinα－3cosα＝0，则sin2α＋sinαcosα值为(B)A．B．C．3D．4[解析]由sinα－3cosα＝0，∴tanα＝3，又sin2α＋sinαcosα＝＝＝＝．6．已知α是三角形的一个内角，且sinα＋cosα＝，那么这个三角形的形状为(B)A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形[解析](sinα＋cosα)2＝，∴2sinαcosα＝－<0，又∵α∈(0，π)，sinα>0.∴cosα<0，∴α为钝角．二、填空题7．在△ABC中，sinA＝，则∠A＝__60°__．[解析]∵2sin2A＝3cosA，∴2(1－cos2A)＝3cosA，即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0，∴cosA＝，cosA＝－2(舍去)，∴A＝60°．8．已知tanα＝cosα，那么sinα＝．[解析]由于tanα＝＝cosα，则sinα＝cos2α，所以sinα＝1－sin2α，解得sinα＝．又sinα＝cos2α≥0，所以sinα＝．三、解答题9．求证：sinα(1＋tanα)＋cosα(1＋)＝＋．[证明]左边＝sinα(1＋)＋cosα(1＋)＝sinα＋＋cosα＋＝＋＝＋＝右边．即原等式成立．10．已知tanα＝7，求下列各式的值．(1)；(2)sin2α＋sinαcosα＋3cos2α．[解析](1)＝＝＝＝．(2)sin2α＋sinαcosα＋3cos2α＝＝＝＝＝．B级素养提升一、选择题1．已知sinα－cosα＝－，则sinα·cosα等于(C)A．B．－C．－D．[解析]将所给等式两边平方，得1－2sinαcosα＝，故sinαcosα＝－．2．若π<α<，＋的化简结果为(D)A．B．－C．D．－[解析]原式＝＋＝＋＝∵π<α<，∴原式＝－．3．若＝2，则sinθ·cosθ＝(D)A．－B．C．±D．[解析]由＝2，得tanθ＝4，sinθcosθ＝＝＝．4．如果sinx＋cosx＝，且00，cosx<0，∴sinx＝，cosx＝－，∴tanx＝－．二、填空题5．已知sinθ＝，cosθ＝，则tanθ＝－或－．[解析]由sin2θ＋cos2θ＝1得，m＝0或8．m＝0时，sinθ＝－，cosθ＝，tanθ＝－；m＝8时，sinθ＝，cos＝－，tanθ＝－．6．在△ABC中，若tanA＝，则sinA＝．[解析]因为tanA＝>0，则∠A是锐角，则sinA>0，解方程组得sinA＝．7．已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1．[解析]由tan2α＝2tan2β＋1，可得tan2β＝(tan2α－1)，即＝(－1)，故有＝(－1)＝×，整理得＝，即sin2β(1－sin2α)＝(1－sin2β)(sin2α－)，展开得sin2β＝sin2α－，即sin2β＝2sin2α－1．8．化简下列式子．(1)cos6α＋sin6α＋3sin2αcos2α；(2)若x是第二象限角，化简·．[解析](1)原式＝(cos2α＋sin2α)(cos4α－cos2αsin2α＋sin4α)＋3sin2α·cos2α＝cos4α＋2sin2αcos2α＋sin4α＝(sin2α＋cos2α)2＝1．(2)原式＝·＝·＝·＝·．∵x为第二象限角，∴sinx>0，∴原式＝＝1．C级能力拔高设A是三角形的内角，且sinA和cosA是关于x的方程25x2－5ax－12a＝0的两个根．(1)求a的值；(2)求tanA的值．[解析](1)∵sinA和cosA是关于x的方程25x2－5ax－12a＝0的两个根，∴由韦达定理得将①两边分别平方得sin2A＋2sinAcosA＋cos2A＝a2，即1－a＝，解得a＝－25或a＝1.当a＝－25时，sinA＋cosA＝－5不合题意，故a＝1．(2)由得sinA>0，cosA<0，∴sinA＝，cosA＝－.∴tanA＝＝－．
