中档题保分练(三)1．(2018·驻马店模拟)数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2－.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn.解析：(1)当n＝1时，a1＝2－＝；当n≥2，nan＝2－－＝，可得an＝，又∵当n＝1时也成立，∴an＝.(2)bn＝＝＝2，∴Tn＝2＝2＝－.2．(2018·聊城模拟)为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源租赁汽车”．每次租车收费的标准由两部分组成：①里程计费：1元/公里；②时间计费：0.12元/分．已知陈先生的家离上班公司12公里，每天上、下班租用该款汽车各一次．一次路上开车所用的时间记为t(分)，现统计了50次路上开车所用时间，在各时间段内频数分布情况如下表所示：时间t(分)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)次数122882将各时间段发生的频率视为概率，一次路上开车所用的时间视为用车时间，范围为[20,60)分．(1)估计陈先生一次租用新能源租赁汽车所用的时间不低于30分钟的概率；(2)若公司每月发放800元的交通补助费用，请估计是否足够让陈先生一个月上下班租用新能源租赁汽车(每月按22天计算)，并说明理由．(同一时段，用该区间的中点值作代表)解析：(1)设“陈先生一次租用新能源租赁汽车的时间不低于30分钟”的事件为A，则所求的概率为P(A)＝1－P()＝1－＝，所以陈先生一次租用新能源租赁汽车的时间不低于30分钟的概率为.(2)每次开车所用的平均时间为25×＋35×＋45×＋55×＝35(分)．每次租用新能源租赁汽车的平均费用为1×12＋0.12×35＝16.2(元)．每个月的费用为16.2×2×22＝712.8(元)，712.8＜800.因此公司补贴够每月上下班租用新能源租赁汽车．3．(2018·临川一中模拟)如图，在四棱锥PABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝2BC＝2，PB＝PD，PA＝.(1)求证：PA⊥BD；(2)若PA⊥AB，BD＝2，E为PA的中点.(ⅰ)过点C作一直线l与BE平行，在图中画出直线l并说明理由；(ⅱ)求平面BEC将三棱锥PACD分成的两部分体积的比．解析：(1)证明：取BD中点O，连接AO，PO.∵AB＝AD，O为BD中点，∴AO⊥BD，又PB＝PD，O为BD中点，∴PO⊥BD，又AO∩PO＝O，∴BD⊥平面PAO，又PA⊂平面PAO，∴PA⊥BD.(2)(ⅰ)取PD中点F，连接CF，EF，则CF∥BE，CF即为所作直线l，理由如下：∵在△PAD中，E、F分别为PA、PD中点，∴EF∥AD，且EF＝AD＝1.又∵AD∥BC，BC＝AD＝1，∴EF∥BC且EF＝BC，∴四边形BCFE为平行四边形.∴CF∥BE.(ⅱ)∵PA⊥AB，PA⊥BD，AB∩BD＝B，∴PA⊥平面ABD.又在△ABD中，AB＝AD＝2，BD＝2，AB2＋AD2＝BD2，∴AB⊥AD.又PA⊥AB，PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD.VPACD＝××2×2×＝，VCAEFD＝××(1＋2)××2＝，∴VPECF＝－＝，∴＝＝.4．请在下面两题中任选一题作答(选修4－4：坐标系与参数方程)已知直线l的参数方程：(t为参数)和圆C的极坐标方程：ρ＝2sin(θ＋)(θ为参数)．(1)将直线l的参数方程和圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)判断直线l和圆C的位置关系．解析：(1)消去参数t，得直线l的直角坐标方程为y＝2x＋1；ρ＝2sin(θ＋)，即ρ＝2(sinθ＋cosθ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsinθ＋ρcosθ)，消去参数θ，得圆C的直角坐标方程为：(x－1)2＋(y－1)2＝2.(2)圆心C到直线l的距离d＝＝<，所以直线l和圆C相交．(选修4－5：不等式选讲)(2018·菏泽模拟)已知f(x)＝|x－1|＋|x－2|.(1)解不等式：f(x)≤x＋3；(2)不等式|m|·f(x)≥|m＋2|－|3m－2|对任意m∈R恒成立，求x的取值范围．解析：(1)①⇒2≤x≤6，②⇒1＜x＜2，③⇒0≤x≤1，由①②③可得x∈[0,6]．(2)①当m＝0时，0≥0，∴x∈R；②当m≠0时，即f(x)≥－对m恒成立，－≤＝4，当且仅当≥3，即0＜m≤时取等号，∴f(x)＝|x－1|＋|x－2|≥4，解得x∈∪.
