单元评估检测(四)第四章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2015·长春模拟)已知复数z=1+ai(a∈R,i是虚数单位),=-+i,则a=()A.2B.-2C.±2D.-【解析】选B.由已知得=1-ai,所以===-+i.故解得a=-2.【加固训练】在复平面内复数(1-i)4的对应点位于()A.第一象限B.实轴C.虚轴D.第四象限【解析】选B.由(1-i)4=(-2i)2=-4,故位于实轴上.2.已知向量a=(2,1),b=(-1,2),且m=ta+b,n=a-kb(t,k∈R),则m⊥n的充要条件是()A.t+k=1B.t-k=1C.t·k=1D.t-k=0【解题提示】写出m,n坐标后利用m·n=0可求.【解析】选D.由已知得m=t(2,1)+(-1,2)=(2t-1,t+2),n=(2,1)-k(-1,2)=(k+2,1-2k).又m⊥n,故m·n=0即(2t-1)(k+2)+(t+2)(1-2k)=0,整理得t-k=0.3.(2015·重庆模拟)已知向量|a|=2,|b|=,且a·b=3,则a与b的夹角为()A.B.C.D.以上都不对【解析】选A.设a与b的夹角为θ,则cosθ===.又因为0≤θ≤π,所以θ=.4.(2015·保定模拟)已知平面向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若|a|=2,|b|=3,a·b=-6,则的值为()A.B.-C.D.-【解题提示】由已知可求两向量位置关系,结合图象求解.【解析】选B.设向量a与b夹角为θ,由已知a·b=-6,即|a||b|·cosθ=-6即cosθ=-1,所以a与b夹角为π.如图.可得A(-2,0),B(3,0),故=.5.(2015·贵阳模拟)已知△ABC中,=a,=b,a·b<0,S△ABC=,|a|=3,|b|=5,则a与b的夹角为()A.30°B.120°C.150°D.30°或150°【解析】选C.S△ABC=||||sinA=|a||b|sinA=×3×5sinA=,所以sinA=.又a·b<0,所以A为钝角,所以A=150°.6.(2015·六盘水模拟)定义运算=ad-bc,则符合条件=0的复数z对应的点在()A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限【解题提示】运用所给新运算把复数化为代数形式再判断其对应点所在象限.【解析】选D.由=0得z(1-i)-(1-2i)(1+2i)=0,所以z(1-i)=5,设z=x+yi(x,y∈R),所以z(1-i)=(x+yi)(1-i)=5,(x+y)+(y-x)i=5,解得因为x=y=>0,所以复数z对应的点在第一象限.7.(2015·南宁模拟)在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足=2,则·(+)等于()A.-B.-C.D.【解析】选A.=2⇒P是AM的一个三等分点,延长PM到H,使得MH=MP,·(+)=·=·=-=-.8.(2015·杭州模拟)设a,b是两个非零向量()A.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥bB.若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得a=λbD.若存在实数λ,使得a=λb,则|a+b|=|a|-|b|【解析】选C.利用排除法可得选项C是正确的.因为|a+b|=|a|-|b|,则a,b共线,且a与b反向,故A,B不正确;选项D,若存在实数λ,使得a=λb,a,b可为同向的共线向量,此时显然|a+b|=|a|-|b|不成立.9.(2015·昆明模拟)如图,正六边形ABCDEF中,有下列四个结论:①+=2;②=2+2;③·=·;④(·)=(·).其中正确结论的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.+=+==2,故①对;取AD的中点O,则=2=2+2,故②对;设||=1,则·=×2×cos=3,而·=2×1×cos=1,故③错;设||=1,则||=2,(·)=(2×1×cos60°)=.(·)=(1×1×cos120°)=-=,故④正确.综上,正确结论为①②④,故选C.10.给出下列命题:p:函数f(x)=sin4x-cos4x的最小正周期是π;q:∃x∈R,使得log2(x+1)<0;r:已知向量a=(λ,1),b=(-1,λ2),c=(-1,1),则(a+b)∥c的充要条件是λ=-1.其中所有真命题是()A.qB.pC.p,rD.p,q【解析】选D.f(x)=sin4x-cos4x=(sin2x-cos2x)·(sin2x+cos2x)=sin2x-cos2x=-cos2x,故最小正周期为π,故命题p正确;当0
