专题22函数与方程思想、数形结合思想【考点定位】函数与方程的思想一般通过函数与导数、三角函数、数列、解析几何等知识进行考查；数形结合思想一般在选择题、填空题中考查.【命题热点突破一】函数与方程思想1.函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法.(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法.2.函数与方程的思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要.(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.例1、(1)设m，n是正整数，多项式(1－2x)m＋(1－5x)n中含x项的系数为－16，则含x2项的系数是()A．－13B．6C．79D．37(2)已知函数f(x)＝(x＋m)ln(x＋m)在x＝1处的切线斜率为1.①若对∀x>0，恒有f(x)≥－x2＋ax－2，求实数a的最大值；②证明：对∀x∈(0，1]和任意正整数n都有f(x)>－1.【答案】(1)D(2)解：f′(x)＝ln(x＋m)＋1，则f′(1)＝ln(1＋m)＋1＝1，得m＝0，即f(x)＝xlnx.①f(x)≥－x2＋ax＋2，即xlnx≥－x2＋ax－2，又x>0，所以a≤lnx＋x＋.令h(x)＝lnx＋x＋，所以要使原不等式恒成立，则a≤h(x)min.h′(x)＝＋1－＝＝.当01时，h′(x)>0，h′(1)＝0，故x＝1时，h(x)取得极小值，即最小值，所以h(x)min＝h(1)＝3，所以a≤3，所以a的最大值为3.【特别提醒】方程思想的本质是根据已知得出方程(组)，通过解方程(组)解决问题；函数思想的实质是使用函数方法解决数学问题(不一定只是函数问题)，构造函数解题是函数思想的一种主要体现．【变式探究】(1)已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(2m，m＋1)．若AB∥OC，则实数m的值为()A.B．－C．3D．－3(2)已知函数f(x)＝.①求f(x)的单调区间；②证明：当x>1时，x＋(x－3)elnx>0.【答案】(1)D【解析】AB＝OB－OA＝(3，1)．因为AB∥OC，所以＝，解得m＝－3.(2)解：①f(x)＝的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)，f′(x)＝.由f′(x)>0得f(x)的单调递增区间为(，＋∞)；由f′(x)<0得f(x)的单调递减区间为(0，1)，(1，)．②证明：由①知，当x>1时，f(x)的最小值为f()＝＝2e.令g(x)＝(－x2＋3x)e，x∈(1，＋∞)，则g′(x)＝(－x2－x＋3)e＝－(x－2)(x＋3)e.当x>1时，由g′(x)>0得函数g(x)在区间(1，2)上单调递增；由g′(x)<0得函数g(x)在区间(2，＋∞)上单调递减，所以g(x)＝(－x2＋3x)e≤g(2)＝2e，所以当x>1时，f(x)＝>g(x)＝(－x2＋3x)e，整理得x＋(x－3)elnx>0.【命题热点突破二】数形结合思想例2、(1)设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)<0，则a的取值范围是()A．[－，1)B．[－，)C．[，)D．[，1)(2)向量a＝(2，0)，b＝(x，y)，若b与b－a的夹角为，则|b|的最大值为()A．4B．2C．2D.【答案】(1)D(2)A直线y＝ax－a过点(1，0)．若a≤0，则f(x)<0的整数解有无穷多个，因此只能a>0.结合函数图像可知，存在唯一的整数x0，使得f(x0)<0，即存在唯一的整数x0，使得点(x0，ax0－a)在点(x0，g(x0))的上方，则x0只能是0，故实数a应满足即解得≤a<1.故实数a的取值范围是.【特别提醒】数形结合思想主要是根据函数图像(或者其他几何图形)，找到解决问题的思路，帮助建立数的运算或者推理(以形助数)的一种方法．用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数...
