2.3圆锥曲线的参数方程课时过关·能力提升1椭圆{x=5cosφ,y=3sinφ¿≤φ≤2π)的焦点坐标为()A.(±5,0)B.(±4,0)C.(±3,0)D.(0,±4)解析:将参数方程化为普通方程,得x225+y29=1,故焦点坐标为(±4,0).答案:B2点P(1,0)到曲线{x=t2,y=2t上的点的最短距离为()A.0B.1C.√2D.2解析:d2=(t2-1)2+4t2=(t2+1)2.∵t∈R,∴dmin2=1,∴dmin=1.答案:B3参数方程{x=√1+t,y=√2-2t表示的曲线是()A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分解析:由{x=√1+t,y=√2-2t,得2x2+y2=4,所以x22+y24=1,且x≥0,y≥0,它表示椭圆的一部分.答案:B4曲线{x=cosθ,y=2sinθ¿≤θ≤2π)的长轴长为()A.2B.4C.6D.8解析:将曲线的参数方程化为普通方程,得x2+y24=1,它表示焦点在y轴上的椭圆,其长轴长为4.答案:B5当θ取一切实数时,连接点A(4sinθ,6cosθ)和点B(-4cosθ,6sinθ)的线段的中点的轨迹是()A.圆B.椭圆C.直线D.线段1解析:设中点为M(x,y),由中点坐标公式,得x=2sinθ-2cosθ,y=3cosθ+3sinθ,即x2=sinθ-cosθ,y3=sinθ+cosθ,两式平方相加,得x24+y29=2,它表示椭圆.答案:B6若实数x,y满足3x2+4y2=12,则2x+√3y的最大值是.解析:因为实数x,y满足3x2+4y2=12,所以设x=2cosα,y¿√3sinα,则2x+√3y=4cosα+3sinα=5sin(α+φ),其中sinφ¿45,cosφ=35.当sin(α+φ)=1时,2x+√3y有最大值为5.答案:57抛物线y=x2−2xt的顶点的轨迹的普通方程为.解析:抛物线方程可化为y¿(x-1t)2−1t2,则其顶点为(1t,-1t2).记M(x,y)为所求轨迹上任意一点,则{x=1t,y=-1t2,消去t,得y=-x2(x≠0).答案:y=-x2(x≠0)8求椭圆x216+y212=1上的点到直线l:x−2y−12=0的最大距离和最小距离.解:由椭圆的参数方程,设椭圆上的任意一点为(4cosθ,2√3sinθ),则此点到直线l的距离为d¿|4cosθ-4√3sinθ-12|√5¿|8cos(θ+π3)-12|√5,因此dmax=4√5,dmin=4√55.9把下列参数方程化为普通方程,并判断方程所表示的曲线的类型.(1¿{x=acosθ,y=bsinθ(θ为参数,a,b为常数,且a>b>0);(2¿{x=asecφ,y=btanφ(φ为参数,a,b为大于0的常数);2(3¿{x=2pt2,y=2pt(t为参数,p为大于0的常数).解:(1)由cos2θ+sin2θ=1,得x2a2+y2b2=1,该方程表示一个长轴长为2a,短轴长为2b,中心在原点的椭圆.(2)由已知secφ¿xa,tanφ=yb,及sec2φ=1+tan2φ,有x2a2−y2b2=1,该方程表示双曲线.(3)由已知t¿y2p,代入x=2pt2,得y24p2·2p=x,即y2=2px,该方程表示一条抛物线.★10已知极点与原点重合,极轴与x轴正半轴重合,若曲线C1的极坐标方程为ρcos(θ-π4)=√2,曲线C2的参数方程为{x=2cosθ,y=√3sinθ¿≤θ≤2π),试求曲线C1,C2的交点的直角坐标.解:曲线C1可化为√22ρcosθ+√22ρsinθ=√2,即x+y=2;曲线C2可化为x24+y23=1,即3x2+4y2=12.联立{x+y=2,3x2+4y2=12,解得交点为(2,0),(27,127).3
