第52讲抛物线[解密考纲]对抛物线的定义、标准方程及几何性质的考查是常数，通常在选择题、填空题中单独考查或在解答题中与圆锥曲线综合考查．一、选择题1．(2018·宁夏银川九中月考)已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x轴上，其上点P(－3，m)到焦点的距离为5，则抛物线方程为(B)A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝4xD．y2＝－4x解析设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，则－(－3)＝5，∴p＝4，∴抛物线方程为y2＝－8x.故选B．2．(2018·江西九江第一次统考)已知抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，过抛物线上一点M(p，p)和抛物线的焦点F作直线l交抛物线于另一点N，则|NF|∶|FM|＝(C)A．1∶B．1∶C．1∶2D．1∶3解析由题意知直线l的方程为y＝2，联立方程得N.所以|NF|＝＋＝p，|MF|＝p＋＝p，所以|NF|∶|FM|＝1∶2，故选C．3．已知抛物线C：y2＝4x，顶点为O，动直线l：y＝k(x＋1)与抛物线C交于A，B两点，则OA·OB＝(A)A．5B．－5C．4D．－4解析设A，B，由已知得直线l过定点E(－1,0)，因为E，A，B三点共线，所以y2＝y1，即(y1－y2)＝y1－y2，因为y1≠y2，所以y1y2＝4，所以OA·OB＝＋y1y2＝5.4．(2018·吉林长春一模)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为120°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则＝(A)A．B．C．D．解析设抛物线的准线为l：x＝－，|FB|＝m，|FA|＝n，过A，B两点向准线l作垂线AC，BD，由抛物线定义知|AC|＝|FA|＝n，|BD|＝|FB|＝m，过B作BE⊥AC，E为垂足，则|AE|＝|CE|－|AC|＝|BD|－|AC|＝m－n，|AB|＝|FA|＋|FB|＝n＋m.在Rt△ABE中，∠BAE＝60°，cos60°＝＝＝，即m＝3n.故＝＝＝.5．已知点A(2,1)，抛物线y2＝4x的焦点是F，若抛物线上存在一点P，使得|PA|＋|PF|最小，则点P的坐标为(D)A．(2,1)B．(1,1)C．D．解析由抛物线定义知，|PF|等于P到准线x＝－1的距离，当PA与准线垂直时|PA|＋|PF|最小，∴P点的纵坐标为1，代入方程得x＝.16．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为(D)A．B．C．1D．2解析由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1⊥l于点A1，过点B作BB1⊥l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l于点M1，则|MM1|＝.因为6＝|AB|≤|AF|＋|BF|，所以|AA1|＋|BB1|≥6,2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点M到x轴的距离d≥2，故选D．二、填空题7．(2018·福建福州质检)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作倾斜角为30°的直线l与抛物线交于P，Q两点，分别过P，Q两点作PP1，QQ1垂直于抛物线的准线于P1，Q1，若|PQ|＝2，则四边形PP1Q1Q的面积是__1__.解析由题意得四边形PP1Q1Q为直角梯形，|PP1|＋|QQ1|＝|PQ|＝2，|P1Q1|＝|PQ|sin30°＝1，∴S＝·|P1Q1|＝1.8．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽__2__米．解析如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．由题意将点A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝，故水面宽为2米．9．(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝__6__.解析依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2,0)，准线x＝－2，因为点N在y轴上，M为FN的中点，所以点M的横坐标为1，所以|MF|＝1－(－2)＝3，|FN|＝2|MF|＝6.三、解答题10．已知抛物线y2＝4px(p>0)的焦点为F，圆W：(x＋p)2＋y2＝p2的圆心到过点F的直线l的距离为p.(1)求直线l的斜率；(2)若直线l与抛物线交于A，B两点，△WAB的面积为8，求抛物线的方程．解析(1)易知抛物线y2＝4px(p>0)的焦点为F(p,0)，依题意设直线l的方程为x＝my＋p，因为W(－p,0)，所以点W到直线l的距离为＝p，解得m＝±，所以直线l的斜率为±.(2)由(1)知直线l的方程为x＝±y＋p，由于两条直线关于x轴对称，不妨取x＝y＋p，代入y2＝4px中，2得y2－4py－4p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4p，y1y2＝－4p2，所以|AB|＝·＝16p，因为△WAB的面积为8，所以p×16p＝8，得p＝1，所以抛物线的方程为y2＝4x.11．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点C(－2,0)的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，OA·OB＝12.(1)求抛物线的方程；(2)当以...
